求(int )_(1)^+infty dfrac (dx)(xsqrt {2{x)^2-1}}=

步骤 1：换元
令 $u = \sqrt{2x^2 - 1}$，则 $du = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 - 1}}dx$，即 $dx = \frac{\sqrt{2x^2 - 1}}{2x}du$。
步骤 2：代入
将 $u$ 和 $dx$ 的表达式代入原积分，得到
${\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {dx}{x\sqrt {2{x}^{2}-1}} = {\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {\sqrt{2x^2 - 1}}{2x^2\sqrt{2x^2 - 1}}du = \frac{1}{2}{\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {du}{u^2 + 1}$。
步骤 3：积分
积分 $\frac{1}{2}{\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {du}{u^2 + 1}$，得到 $\frac{1}{2}\arctan(u) + C$。
步骤 4：代回原变量
将 $u = \sqrt{2x^2 - 1}$ 代回，得到 $\frac{1}{2}\arctan(\sqrt{2x^2 - 1}) + C$。
步骤 5：计算定积分
计算定积分 ${\int }_{1}^{+\infty }\dfrac {dx}{x\sqrt {2{x}^{2}-1}} = \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{2x^2 - 1}){|}_{1}^{+\infty}$。
步骤 6：求极限
求极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{2x^2 - 1}) - \frac{1}{2}\arctan(\sqrt{2 - 1})$。
步骤 7：计算结果
计算结果为 $\frac{1}{2}\arctan(\infty) - \frac{1}{2}\arctan(1) = \frac{1}{2}\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$。