题目
求(int )_(-1)^1xln (1+(e)^x)dx.
求
.
题目解答
答案
根据奇偶函数定积分的性质，得：
合并，得：
化简，得：
解析
步骤 1：利用奇偶函数的性质
观察被积函数$f(x)=x\ln(1+e^x)$，发现$f(-x)=-x\ln(1+e^{-x})$，因此$f(x)$是一个奇函数。根据奇函数在对称区间上的积分性质，即$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$，如果$f(x)$是奇函数，我们可以将原积分拆分为两部分，利用奇函数的性质简化计算。
步骤 2：拆分积分
将原积分拆分为两部分，即${\int }_{-1}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx={\int }_{-1}^{0}x\ln (1+{e}^{x})dx+{\int }_{0}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx$。由于$f(x)$是奇函数，${\int }_{-1}^{0}x\ln (1+{e}^{x})dx$和${\int }_{0}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx$在数值上相等但符号相反，因此它们的和为0。但是，为了更清晰地展示计算过程，我们继续进行变形。
步骤 3：变形与化简
将${\int }_{-1}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx$变形为${\int }_{0}^{1}x\ln \dfrac {1+{e}^{x}}{1+{e}^{-x}}dx$，这是因为奇函数的性质使得${\int }_{-1}^{0}x\ln (1+{e}^{x})dx$与${\int }_{0}^{1}x\ln (1+{e}^{-x})dx$在数值上相等但符号相反，因此可以合并为${\int }_{0}^{1}x\ln \dfrac {1+{e}^{x}}{1+{e}^{-x}}dx$。进一步化简，得到${\int }_{0}^{1}x\ln \dfrac {{e}^{x}({e}^{-x}+1)}{1+{e}^{-x}}dx$，即${\int }_{0}^{1}x\ln {e}^{x}dx$，简化为${\int }_{0}^{1}x^2dx$。
步骤 4：计算积分
计算${\int }_{0}^{1}x^2dx$，得到$\dfrac{1}{3}x^3|_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}$。
观察被积函数$f(x)=x\ln(1+e^x)$，发现$f(-x)=-x\ln(1+e^{-x})$，因此$f(x)$是一个奇函数。根据奇函数在对称区间上的积分性质，即$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$，如果$f(x)$是奇函数，我们可以将原积分拆分为两部分，利用奇函数的性质简化计算。
步骤 2：拆分积分
将原积分拆分为两部分，即${\int }_{-1}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx={\int }_{-1}^{0}x\ln (1+{e}^{x})dx+{\int }_{0}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx$。由于$f(x)$是奇函数，${\int }_{-1}^{0}x\ln (1+{e}^{x})dx$和${\int }_{0}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx$在数值上相等但符号相反，因此它们的和为0。但是，为了更清晰地展示计算过程，我们继续进行变形。
步骤 3：变形与化简
将${\int }_{-1}^{1}x\ln (1+{e}^{x})dx$变形为${\int }_{0}^{1}x\ln \dfrac {1+{e}^{x}}{1+{e}^{-x}}dx$，这是因为奇函数的性质使得${\int }_{-1}^{0}x\ln (1+{e}^{x})dx$与${\int }_{0}^{1}x\ln (1+{e}^{-x})dx$在数值上相等但符号相反，因此可以合并为${\int }_{0}^{1}x\ln \dfrac {1+{e}^{x}}{1+{e}^{-x}}dx$。进一步化简，得到${\int }_{0}^{1}x\ln \dfrac {{e}^{x}({e}^{-x}+1)}{1+{e}^{-x}}dx$，即${\int }_{0}^{1}x\ln {e}^{x}dx$，简化为${\int }_{0}^{1}x^2dx$。
步骤 4：计算积分
计算${\int }_{0}^{1}x^2dx$，得到$\dfrac{1}{3}x^3|_{0}^{1}=\dfrac{1}{3}$。