题目
设 gt 0 ,知 lim _(xarrow +infty )(x)^p((a)^dfrac (1{x)}-(a)^dfrac (1{x+1)}) 存在,则P的取值范围为_ __

题目解答
答案
因为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}})$ 存在,
所以 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}})$
$=\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}{a}^{\dfrac {1}{x}}-\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}{a}^{\dfrac {1}{x+1}}$
$=a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}-a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}{e}^{-\frac {1}{x+1}}$
$=a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}-a\lim _{x\rightarrow +\infty }{e}^{-\frac {1}{x+1}}\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$
$=a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}-a\cdot \frac {1}{e}\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$
$=a[1-\frac {1}{e}]\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$
所以 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$ 存在,
所以 $p\geqslant 0$,
故答案为:$[0,+\infty )$.
$[0,+\infty )$
所以 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}})$
$=\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}{a}^{\dfrac {1}{x}}-\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}{a}^{\dfrac {1}{x+1}}$
$=a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}-a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}{e}^{-\frac {1}{x+1}}$
$=a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}-a\lim _{x\rightarrow +\infty }{e}^{-\frac {1}{x+1}}\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$
$=a\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}-a\cdot \frac {1}{e}\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$
$=a[1-\frac {1}{e}]\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$
所以 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}$ 存在,
所以 $p\geqslant 0$,
故答案为:$[0,+\infty )$.
$[0,+\infty )$
解析
步骤 1:分析极限表达式
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}})$,其中 $a\gt 0$。为了使该极限存在,需要分析 ${x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}})$ 的行为。
步骤 2:简化极限表达式
首先,观察 ${a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}}$ 的行为。当 $x$ 趋向于正无穷时,$\dfrac {1}{x}$ 和 $\dfrac {1}{x+1}$ 都趋向于0,因此 ${a}^{\dfrac {1}{x}}$ 和 ${a}^{\dfrac {1}{x+1}}$ 都趋向于1。但是,它们的差值趋向于0,但速度取决于 $a$ 的值。为了更精确地分析,可以使用泰勒展开式来近似 ${a}^{\dfrac {1}{x}}$ 和 ${a}^{\dfrac {1}{x+1}}$。
步骤 3:使用泰勒展开式
对于 $a^{\frac{1}{x}}$ 和 $a^{\frac{1}{x+1}}$,当 $x$ 趋向于正无穷时,可以使用自然对数和指数函数的泰勒展开式来近似:
${a}^{\dfrac {1}{x}} = e^{\ln(a) \cdot \frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{\ln(a)}{x}$
${a}^{\dfrac {1}{x+1}} = e^{\ln(a) \cdot \frac{1}{x+1}} \approx 1 + \frac{\ln(a)}{x+1}$
因此,${a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}} \approx \frac{\ln(a)}{x} - \frac{\ln(a)}{x+1} = \frac{\ln(a)}{x(x+1)}$。
步骤 4:分析极限的存在性
将上述近似代入原极限表达式中,得到 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}}) \approx \lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p} \cdot \frac{\ln(a)}{x(x+1)} = \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{\ln(a) \cdot {x}^{p}}{x(x+1)}$。为了使该极限存在,分母的增长速度必须大于或等于分子的增长速度,即 $p \geq 0$。
给定的极限表达式为 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}})$,其中 $a\gt 0$。为了使该极限存在,需要分析 ${x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}})$ 的行为。
步骤 2:简化极限表达式
首先,观察 ${a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}}$ 的行为。当 $x$ 趋向于正无穷时,$\dfrac {1}{x}$ 和 $\dfrac {1}{x+1}$ 都趋向于0,因此 ${a}^{\dfrac {1}{x}}$ 和 ${a}^{\dfrac {1}{x+1}}$ 都趋向于1。但是,它们的差值趋向于0,但速度取决于 $a$ 的值。为了更精确地分析,可以使用泰勒展开式来近似 ${a}^{\dfrac {1}{x}}$ 和 ${a}^{\dfrac {1}{x+1}}$。
步骤 3:使用泰勒展开式
对于 $a^{\frac{1}{x}}$ 和 $a^{\frac{1}{x+1}}$,当 $x$ 趋向于正无穷时,可以使用自然对数和指数函数的泰勒展开式来近似:
${a}^{\dfrac {1}{x}} = e^{\ln(a) \cdot \frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{\ln(a)}{x}$
${a}^{\dfrac {1}{x+1}} = e^{\ln(a) \cdot \frac{1}{x+1}} \approx 1 + \frac{\ln(a)}{x+1}$
因此,${a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}} \approx \frac{\ln(a)}{x} - \frac{\ln(a)}{x+1} = \frac{\ln(a)}{x(x+1)}$。
步骤 4:分析极限的存在性
将上述近似代入原极限表达式中,得到 $\lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p}({a}^{\dfrac {1}{x}}-{a}^{\dfrac {1}{x+1}}) \approx \lim _{x\rightarrow +\infty }{x}^{p} \cdot \frac{\ln(a)}{x(x+1)} = \lim _{x\rightarrow +\infty } \frac{\ln(a) \cdot {x}^{p}}{x(x+1)}$。为了使该极限存在,分母的增长速度必须大于或等于分子的增长速度,即 $p \geq 0$。