题目

若函数 f(x) 的一个原函数是 ln x，则 f'(x)= ( ) A. -(1)/(x^2)B. (1)/(x^2)C. (1)/(x)D. ln x

若函数 $f(x)$ 的一个原函数是 $\ln x$，则 $f'(x)= (\quad)$

  • A. $-\frac{1}{x^2}$
  • B. $\frac{1}{x^2}$
  • C. $\frac{1}{x}$
  • D. $\ln x$

题目解答

答案

已知 $ \ln x $ 是 $ f(x) $ 的原函数，即 $ \int f(x) \, dx = \ln x + C $。对两边求导得： \[ f(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} \] 再对 $ f(x) $ 求导： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{x^2} \] 因此，正确答案为： \[ \boxed{A} \]

解析

原函数的定义是：若函数$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，则$F'(x) = f(x)$。本题中，已知$\ln x$是$f(x)$的原函数，因此首先需要求出$f(x)$，再对$f(x)$求导得到$f'(x)$。关键在于正确应用导数的计算规则，尤其是分式函数的导数。

  1. 求$f(x)$
    根据原函数的定义，$\ln x$是$f(x)$的原函数，因此：
    $f(x) = \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x}$

  2. 求$f'(x)$
    对$f(x) = \frac{1}{x}$再次求导：
    $f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{d}{dx} \left( x^{-1} \right) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$