题目
已知函数 z=f(x,y) 的全微分 =2xdx-2ydy, 并且 (1,1)=2. 求-|||-f(x,y)在椭圆域 = (x,y)|{x)^2+dfrac ({y)^2}(4)leqslant 1} 上的最大值和最小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求解函数 $f(x,y)$
由全微分 $dz=2xdx-2ydy$ 可知，$f(x,y)$ 的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}=-2y$。因此，$f(x,y)$ 可以表示为 $f(x,y)=x^2-y^2+C$，其中 $C$ 是常数。由 $f(1,1)=2$ 可得 $C=2$，所以 $f(x,y)=x^2-y^2+2$。
步骤 2：求解函数 $f(x,y)$ 在椭圆域 $D$ 上的极值
椭圆域 $D$ 的边界为 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$。在椭圆边界上，$f(x,y)$ 可以表示为 $f(x,y)=x^2-(4-4x^2)+2=5x^2-2$。由于 $-1\leq x\leq 1$，所以 $f(x,y)$ 在椭圆边界上的最大值为 $f(1,0)=f(-1,0)=3$，最小值为 $f(0,2)=f(0,-2)=-2$。
步骤 3：比较椭圆边界上的极值和椭圆域内部的极值
椭圆域内部的极值可以通过求解 $f(x,y)$ 的偏导数得到。令 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x=0$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0$，得到驻点 $(0,0)$。由于 $f(0,0)=2$，所以 $f(x,y)$ 在椭圆域 $D$ 上的最大值为 $3$，最小值为 $-2$。
由全微分 $dz=2xdx-2ydy$ 可知，$f(x,y)$ 的偏导数为 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}=-2y$。因此，$f(x,y)$ 可以表示为 $f(x,y)=x^2-y^2+C$，其中 $C$ 是常数。由 $f(1,1)=2$ 可得 $C=2$，所以 $f(x,y)=x^2-y^2+2$。
步骤 2：求解函数 $f(x,y)$ 在椭圆域 $D$ 上的极值
椭圆域 $D$ 的边界为 $x^2+\frac{y^2}{4}=1$。在椭圆边界上，$f(x,y)$ 可以表示为 $f(x,y)=x^2-(4-4x^2)+2=5x^2-2$。由于 $-1\leq x\leq 1$，所以 $f(x,y)$ 在椭圆边界上的最大值为 $f(1,0)=f(-1,0)=3$，最小值为 $f(0,2)=f(0,-2)=-2$。
步骤 3：比较椭圆边界上的极值和椭圆域内部的极值
椭圆域内部的极值可以通过求解 $f(x,y)$ 的偏导数得到。令 $\frac{\partial f}{\partial x}=2x=0$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}=-2y=0$，得到驻点 $(0,0)$。由于 $f(0,0)=2$，所以 $f(x,y)$ 在椭圆域 $D$ 上的最大值为 $3$，最小值为 $-2$。