题目

求下列极限：(1)lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+x-2}({x)^2-3x+2}；(2)lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+x-2}({x)^2-3x+2}；(3)lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+x-2}({x)^2-3x+2}；(4)lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+x-2}({x)^2-3x+2}；(5)lim _(xarrow 1)dfrac ({x)^2+x-2}({x)^2-3x+2}

求下列极限：

(1) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}$ ；

(2) $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x}{x^4-3x^2+1}$ ；

(3) $\lim_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$ ；

(4) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ ；

(5) $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{5x-4}-\sqrt{x}}{x-1}$

题目解答

答案

(1)极限 $\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x+2}{x-2}$ $=\frac{1+2}{1-2}=-3$ ；

(2)使分子分母同时提出 $x^2$ ，我们知 $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0$ ， $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{x^2}=0$ ，得到极限 $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+x}{x^4-3x^2+1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{1}{x}}{x^2-3+\frac{1}{x^2}}=0$ ；

(3)极限 $\lim_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\lim_{x\rightarrow1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}\right)$ $=\lim_{x\rightarrow1}\frac{1+x+x^2-3}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{x^2+x-2}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}$ $=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x+x^2\right)}=\lim_{x\rightarrow1}-\frac{x+2}{1+x+x^2}=-\frac{1+2}{1+1+1}=-1$ ；

(4)由等价无穷小可知，当 $x\rightarrow0$ 时，满足 $\sqrt{x+1}-1\sim\frac{1}{2}x$ ，故极限 $\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}x}{x}=\frac{1}{2}$ ；

(5)对于极限 $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{5x-4}-\sqrt{x}}{x-1}$ ，其为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，利用洛必达法则，故极限为 $\lim_{x\rightarrow1}\frac{\sqrt{5x-4}-\sqrt{x}}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1}\frac{\frac{5}{2\sqrt{5x-4}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}}{1}$ $=\lim_{x\rightarrow1}\left(\frac{5}{2\sqrt{5x-4}}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2$ .

解析

因式分解法：当分式极限中分子分母在趋近点处同为零时，优先因式分解约简；
无穷大分式极限：分子分母最高次项次数差决定极限值；
分式运算化简：通分合并后约分简化表达式；
等价无穷小替换：$\sqrt{x+1}-1 \sim \frac{1}{2}x$；
洛必达法则：适用于$\frac{0}{0}$型未定式，通过求导消去不定式。

第（1）题

因式分解

分子：$x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$
分母：$x^2 - 3x + 2 = (x-2)(x-1)$

约分简化

$\dfrac{(x+2)(x-1)}{(x-2)(x-1)} = \dfrac{x+2}{x-2}$

代入计算

$\lim_{x \to 1} \dfrac{x+2}{x-2} = \dfrac{1+2}{1-2} = -3$

第（2）题

分子分母同除以$x^4$

$\dfrac{x^2 + x}{x^4 - 3x^2 + 1} = \dfrac{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{3}{x^2} + \frac{1}{x^4}}$

利用极限性质

$\lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x^n} = 0$，故极限为$\dfrac{0 + 0}{1 - 0 + 0} = 0$

第（3）题

分母因式分解

$1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$

通分合并

$\dfrac{1}{1-x} - \dfrac{3}{(1-x)(1+x+x^2)} = \dfrac{1+x+x^2 - 3}{(1-x)(1+x+x^2)}$

化简分子

$1 + x + x^2 - 3 = x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$

约分代入

$\dfrac{(x+2)(x-1)}{(1-x)(1+x+x^2)} = -\dfrac{x+2}{1+x+x^2}$，代入$x=1$得$-\dfrac{3}{3} = -1$

第（4）题

等价无穷小替换

$\sqrt{x+1} - 1 \sim \dfrac{1}{2}x$

代入计算

$\lim_{x \to 0} \dfrac{\frac{1}{2}x}{x} = \dfrac{1}{2}$

第（5）题

洛必达法则

分子导数：$\dfrac{5}{2\sqrt{5x-4}} - \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
分母导数：$1$

代入计算

$\lim_{x \to 1} \left( \dfrac{5}{2\sqrt{1}} - \dfrac{1}{2\sqrt{1}} \right) = \dfrac{5}{2} - \dfrac{1}{2} = 2$