题目
[题目] lim _(xarrow 0)xsin dfrac (1)(x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数的定义域
函数 $f(x) = x\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 时有定义，因为 $\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 时有定义。
步骤 2：应用夹逼定理
我们知道 $-1 \leq \sin \dfrac {1}{x} \leq 1$ 对于所有 $x \neq 0$ 成立。因此，我们可以写出：
$$-x \leq x\sin \dfrac {1}{x} \leq x$$
当 $x \rightarrow 0$ 时，$-x$ 和 $x$ 都趋向于 $0$，所以根据夹逼定理，$x\sin \dfrac {1}{x}$ 也趋向于 $0$。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，我们得出结论：
$$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x} = 0$$
函数 $f(x) = x\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 时有定义，因为 $\sin \dfrac {1}{x}$ 在 $x \neq 0$ 时有定义。
步骤 2：应用夹逼定理
我们知道 $-1 \leq \sin \dfrac {1}{x} \leq 1$ 对于所有 $x \neq 0$ 成立。因此，我们可以写出：
$$-x \leq x\sin \dfrac {1}{x} \leq x$$
当 $x \rightarrow 0$ 时，$-x$ 和 $x$ 都趋向于 $0$，所以根据夹逼定理，$x\sin \dfrac {1}{x}$ 也趋向于 $0$。
步骤 3：得出结论
根据上述分析，我们得出结论：
$$\lim _{x\rightarrow 0}x\sin \dfrac {1}{x} = 0$$