求int dfrac ({ln )^2sqrt (x)}(sqrt {x)}dx

步骤 1：换元
观察积分式子，发现$\sqrt{x}$的导数为$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$，因此可以考虑使用换元法，令$u = \sqrt{x}$，则$du = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}dx$，从而$\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx = 2du$。
步骤 2：代入换元
将$u = \sqrt{x}$代入原积分式子，得到$\int \dfrac{{\ln}^{2}u}{u} \cdot 2du$。
步骤 3：分部积分
对$\int \dfrac{{\ln}^{2}u}{u} \cdot 2du$进行分部积分，设$v = {\ln}^{2}u$，$dw = \dfrac{2}{u}du$，则$dv = \dfrac{2\ln u}{u}du$，$w = 2\ln u$。
步骤 4：计算分部积分
根据分部积分公式$\int vdw = vw - \int wdv$，计算得到$\int \dfrac{{\ln}^{2}u}{u} \cdot 2du = 2u{\ln}^{2}u - 4\int \ln udu$。
步骤 5：计算剩余积分
对$\int \ln udu$进行分部积分，设$v = \ln u$，$dw = du$，则$dv = \dfrac{1}{u}du$，$w = u$，得到$\int \ln udu = u\ln u - \int du = u\ln u - u$。
步骤 6：代回原变量
将$u = \sqrt{x}$代回，得到$\int \dfrac{{\ln}^{2}\sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx = 2\sqrt{x}{\ln}^{2}\sqrt{x} - 4\sqrt{x}\ln \sqrt{x} + 4\sqrt{x} + C$。