题目
(6) lim _(xarrow a)dfrac ({x)^m-(a)^m}({x)^n-(a)^n} ,
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow a$ 时，分子和分母都趋向于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 2：求导
分子的导数为 $m{x}^{m-1}$，分母的导数为 $n{x}^{n-1}$。
步骤 3：计算极限
将导数代入洛必达法则，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {m{x}^{m-1}}{n{x}^{n-1}}$。由于 $x \rightarrow a$，可以将 $x$ 替换为 $a$，得到 $\dfrac {m{a}^{m-1}}{n{a}^{n-1}}$。
由于当 $x \rightarrow a$ 时，分子和分母都趋向于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，如果 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)}$ 的形式是 $\dfrac {0}{0}$ 或 $\dfrac {\infty}{\infty}$，则 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f(x)}{g(x)} = \lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{g'(x)}$，其中 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数。
步骤 2：求导
分子的导数为 $m{x}^{m-1}$，分母的导数为 $n{x}^{n-1}$。
步骤 3：计算极限
将导数代入洛必达法则，得到 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {m{x}^{m-1}}{n{x}^{n-1}}$。由于 $x \rightarrow a$，可以将 $x$ 替换为 $a$，得到 $\dfrac {m{a}^{m-1}}{n{a}^{n-1}}$。