题目
求导：y=(arcsinx)^2
求导：$$y=(arcsinx)^2$$
题目解答
答案
$$y'=2arcsinx\cdot (arcsinx)'$$$$=\frac{2arcsinx}{\root \of {1-x^2} }$$.
解析
步骤 1：确定函数形式
函数形式为$$y=(arcsinx)^2$$，这是一个复合函数，其中外函数为$$u^2$$，内函数为$$u=arcsinx$$。
步骤 2：应用链式法则
链式法则用于求复合函数的导数，其形式为$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$。这里，$$y=u^2$$，$$u=arcsinx$$，所以$$\frac{dy}{du}=2u$$，$$\frac{du}{dx}=(arcsinx)'$$。
步骤 3：计算内函数的导数
$$u=arcsinx$$的导数为$$\frac{du}{dx}=(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
步骤 4：将导数代入链式法则
将$$\frac{dy}{du}=2u$$和$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$代入链式法则，得到$$\frac{dy}{dx}=2u\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
步骤 5：代入$$u=arcsinx$$
将$$u=arcsinx$$代入上式，得到$$\frac{dy}{dx}=2arcsinx\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
函数形式为$$y=(arcsinx)^2$$，这是一个复合函数，其中外函数为$$u^2$$，内函数为$$u=arcsinx$$。
步骤 2：应用链式法则
链式法则用于求复合函数的导数，其形式为$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$。这里，$$y=u^2$$，$$u=arcsinx$$，所以$$\frac{dy}{du}=2u$$，$$\frac{du}{dx}=(arcsinx)'$$。
步骤 3：计算内函数的导数
$$u=arcsinx$$的导数为$$\frac{du}{dx}=(arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
步骤 4：将导数代入链式法则
将$$\frac{dy}{du}=2u$$和$$\frac{du}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$代入链式法则，得到$$\frac{dy}{dx}=2u\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。
步骤 5：代入$$u=arcsinx$$
将$$u=arcsinx$$代入上式，得到$$\frac{dy}{dx}=2arcsinx\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$。