某智力比赛上，对选手得分的要求是，答对一题得5分，答错--题扣2分，不答的得0分。一共有30道题目，小明最终得了103分，则他答错的题目最多有多少道?()A.5B.6C.4D.7

考查要点：本题主要考查整数解的应用题，涉及方程建立与整数条件分析。关键在于通过得分规则建立方程，并结合题目数量限制寻找符合条件的整数解，同时确定答错题数的最大值。

解题思路：

1. 设定变量：设答对$x$题，答错$y$题，不答的题数为$30 - x - y$。
2. 建立方程：根据得分规则，总分为$5x - 2y = 103$。
3. 分析整数解：通过方程变形，结合$x$和$y$的非负整数条件，找到满足条件的$y$的最大值。
4. 约束条件：需保证$x + y \leq 30$，即答对和答错的题数总和不超过30。

破题关键：通过模运算分析$y$的取值规律，结合总题数限制筛选出最大可能的$y$值。

设定变量与方程

设小明答对$x$题，答错$y$题，则不答的题数为$30 - x - y$。根据得分规则，总分为：
$5x - 2y = 103$

方程变形与整数条件

将方程变形为：
$x = \frac{103 + 2y}{5}$
由于$x$必须为非负整数，因此$103 + 2y$必须是5的倍数，即：
$103 + 2y \equiv 0 \pmod{5}$
化简得：
$2y \equiv -103 \pmod{5} \quad \Rightarrow \quad 2y \equiv 2 \pmod{5} \quad \Rightarrow \quad y \equiv 1 \pmod{5}$
因此，$y$的可能取值为$1, 6, 11, 16, \dots$。

结合题数限制筛选最大值

需满足$x + y \leq 30$，代入$x = \frac{103 + 2y}{5}$：
$\frac{103 + 2y}{5} + y \leq 30 \quad \Rightarrow \quad 103 + 2y + 5y \leq 150 \quad \Rightarrow \quad 7y \leq 47 \quad \Rightarrow \quad y \leq 6.71$
因此，$y$的最大整数为$6$（因$y \equiv 1 \pmod{5}$，下一个可能值为$6$）。

验证可行性

当$y = 6$时：
$x = \frac{103 + 2 \times 6}{5} = \frac{115}{5} = 23$
此时$x + y = 23 + 6 = 29 \leq 30$，符合条件。若$y = 11$，则$x = 25$，$x + y = 36 > 30$，不成立。

结论：答错题数最多为$6$道。