已知矩阵 A=} 4 & 1 & -2 1 & 1 & 1 2 & 1 & a 相似，求 a 的值及 k 的取值范围，若存在正交矩阵 Q，使得 Q^T A Q = B，求 k 及 Q。

我们来逐步分析并解决这个问题。 --- ### 一、题目已知条件 我们有两个矩阵： $$ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ 已知： - $ A \sim B $，即 $ A $ 与 $ B $ 相似。 - 若存在正交矩阵 $ Q $，使得 $ Q^T A Q = B $，求 $ k $ 和 $ Q $。 --- ## 第一步：利用相似矩阵的性质 两个矩阵相似意味着它们有相同的特征值（包括代数重数和几何重数）。 而矩阵 $ B $ 是一个**对角矩阵**，其对角线上的元素就是它的特征值： $$ \lambda_1 = k, \quad \lambda_2 = 6, \quad \lambda_3 = 0 $$ 所以矩阵 $ A $ 的特征值也应该是这三个数。 --- ## 第二步：求矩阵 $ A $ 的特征值 我们计算 $ A $ 的特征多项式： $$ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 4 - \lambda & 1 & -2 \\ 1 & 1 - \lambda & 1 \\ 2 & 1 & a - \lambda \end{vmatrix} $$ 展开这个行列式： 按第一行展开： $$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)\begin{vmatrix}1 - \lambda & 1 \\ 1 & a - \lambda\end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & a - \lambda\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 - \lambda \\ 2 & 1\end{vmatrix} $$ 分别计算三个子式： 1. $\begin{vmatrix}1 - \lambda & 1 \\ 1 & a - \lambda\end{vmatrix} = (1 - \lambda)(a - \lambda) - 1 = (1 - \lambda)(a - \lambda) - 1$ 2. $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & a - \lambda\end{vmatrix} = (a - \lambda) - 2 = a - \lambda - 2$ 3. $\begin{vmatrix}1 & 1 - \lambda \\ 2 & 1\end{vmatrix} = 1 - 2(1 - \lambda) = 1 - 2 + 2\lambda = -1 + 2\lambda$ 代入原式： $$ \det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)[(1 - \lambda)(a - \lambda) - 1] - (a - \lambda - 2) - 2(-1 + 2\lambda) $$ 我们先简化第一项： $$ (1 - \lambda)(a - \lambda) = a - \lambda - a\lambda + \lambda^2 = a - a\lambda - \lambda + \lambda^2 $$ 所以： $$ (1 - \lambda)(a - \lambda) - 1 = a - a\lambda - \lambda + \lambda^2 - 1 $$ 所以第一项是： $$ (4 - \lambda)(a - a\lambda - \lambda + \lambda^2 - 1) $$ 我们暂时不继续展开，而是换一种方法。 --- ## 第三步：利用相似矩阵的迹和行列式 因为 $ A \sim B $，所以它们的迹和行列式相等。 ### 1. 矩阵的迹 $$ \text{tr}(A) = 4 + 1 + a = 5 + a, \quad \text{tr}(B) = k + 6 + 0 = k + 6 $$ 所以： $$ 5 + a = k + 6 \Rightarrow a = k + 1 \tag{1} $$ --- ### 2. 矩阵的行列式 $$ \det(A) = \det(B) = k \cdot 6 \cdot 0 = 0 $$ 所以： $$ \det(A) = 0 $$ 我们计算 $ A $ 的行列式： $$ \det(A) = \begin{vmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{vmatrix} $$ 按第一行展开： $$ \det(A) = 4 \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & a\end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & a\end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} $$ 计算子式： - $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & a\end{vmatrix} = a - 1$ - $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & a\end{vmatrix} = a - 2$ - $\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 2 & 1\end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$ 代入： $$ \det(A) = 4(a - 1) - (a - 2) + 2 = 4a - 4 - a + 2 + 2 = 3a $$ 所以： $$ \det(A) = 3a = 0 \Rightarrow a = 0 \tag{2} $$ 代入(1)式： $$ a = k + 1 \Rightarrow 0 = k + 1 \Rightarrow k = -1 \tag{3} $$ --- ## 第四步：是否存在正交矩阵 $ Q $，使得 $ Q^T A Q = B $？ 题目还问： > 若存在正交矩阵 $ Q $，使得 $ Q^T A Q = B $，求 $ k $ 及 $ Q $。 这表示 $ A $ 和 $ B $ 不仅相似，而且是**正交相似**。 正交相似意味着 $ A $ 是一个**实对称矩阵**，因为只有实对称矩阵才能正交对角化。 我们检查矩阵 $ A $ 是否对称： $$ A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & a \end{pmatrix} $$ 检查是否满足 $ A^T = A $： - $ A_{13} = -2 $, $ A_{31} = 2 $，不对称！ 所以 $ A $ 不对称，因此不能正交对角化。 但题目说“若存在正交矩阵 $ Q $，使得 $ Q^T A Q = B $”，即假设存在这样的正交矩阵，那么我们要求 $ A $ 是对称矩阵。 所以我们要求 $ A = A^T $，即： - $ A_{13} = -2 $, $ A_{31} = 2 $ ⇒ 不对称 - 所以必须让 $ A_{13} = A_{31} $，即 $ -2 = 2 $ ⇒ 不可能 所以只有当 $ A $ 是对称矩阵时，才能存在正交矩阵 $ Q $ 使得 $ Q^T A Q = B $。 所以我们要让 $ A $ 对称，即： - $ A_{13} = A_{31} \Rightarrow -2 = 2 \Rightarrow $ 不可能 因此，**只有当 $ A $ 是对称矩阵时，才能存在正交矩阵 $ Q $**，所以我们要让 $ A $ 对称。 所以我们必须让： $$ A_{13} = A_{31} \Rightarrow -2 = 2 \Rightarrow \text{不可能} $$ 因此，**不存在正交矩阵 $ Q $**，使得 $ Q^T A Q = B $。 --- ## 第五步：总结答案 ### 已知 $ A \sim B $，求： 1. $ a = \boxed{0} $ 2. $ k = \boxed{-1} $ ### 若存在正交矩阵 $ Q $，使得 $ Q^T A Q = B $，求 $ k $ 和 $ Q $ - **不存在这样的正交矩阵 $ Q $**，因为 $ A $ 不是对称矩阵。 --- ## ✅ 最终答案： - $ a = \boxed{0} $ - $ k = \boxed{-1} $ - **不存在正交矩阵 $ Q $**，使得 $ Q^T A Q = B $，因为 $ A $ 不是对称矩阵。