题目
"-|||-设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,其中 gt 0 ,f(a)=0 ,证明至少存在一,-|||-(xi )=dfrac (b-xi )(a)f'(xi ) -
题目解答
答案
本题考查了函数的连续性和可导性，利用函数的连续性和可导性的定义，构造函数，利用函数的单调性来证明。证明：设 $F(x)=(b-x)f(x)$，显然 $F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，又 $F(a)=(b-a)f(a)=0$，$F(b)=(b-b)f(b)=0$，所以由罗尔定理得，至少存在一点ε∈(a,b)，使 $F'(x)=0$，即 $(b-x)f'(x)+(b-x)f(x)=0$，因为 $b-x>0$，所以 $f'(x)+f(x)=0$，即 $f(\xi )=\dfrac {b-\xi }{a}f'(\xi )$.
证明：设 $F(x)=(b-x)f(x)$，显然 $F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，又 $F(a)=(b-a)f(a)=0$，$F(b)=(b-b)f(b)=0$，所以由罗尔定理得，至少存在一点ε∈(a,b)，使 $F'(x)=0$，即 $(b-x)f'(x)+(b-x)f(x)=0$，因为 $b-x>0$，所以 $f'(x)+f(x)=0$，即 $f(\xi )=\dfrac {b-\xi }{a}f'(\xi )$.
证明：设 $F(x)=(b-x)f(x)$，显然 $F(x)$在$[a,b]$上连续，在$(a,b)$内可导，又 $F(a)=(b-a)f(a)=0$，$F(b)=(b-b)f(b)=0$，所以由罗尔定理得，至少存在一点ε∈(a,b)，使 $F'(x)=0$，即 $(b-x)f'(x)+(b-x)f(x)=0$，因为 $b-x>0$，所以 $f'(x)+f(x)=0$，即 $f(\xi )=\dfrac {b-\xi }{a}f'(\xi )$.
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x)=(b-x)f(x)$，该函数在区间 $[a,b]$ 上连续，在区间 $(a,b)$ 内可导。
步骤 2：计算辅助函数的端点值
计算辅助函数在端点 $a$ 和 $b$ 的值，即 $F(a)=(b-a)f(a)=0$ 和 $F(b)=(b-b)f(b)=0$。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)=0$，根据罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。
步骤 4：计算辅助函数的导数
计算辅助函数的导数 $F'(x)=(b-x)f'(x)-f(x)$，并代入 $\xi$，得到 $F'(\xi)=(b-\xi)f'(\xi)-f(\xi)=0$。
步骤 5：解方程
解方程 $(b-\xi)f'(\xi)-f(\xi)=0$，得到 $f(\xi)=\dfrac{b-\xi}{a}f'(\xi)$。
构造辅助函数 $F(x)=(b-x)f(x)$，该函数在区间 $[a,b]$ 上连续，在区间 $(a,b)$ 内可导。
步骤 2：计算辅助函数的端点值
计算辅助函数在端点 $a$ 和 $b$ 的值，即 $F(a)=(b-a)f(a)=0$ 和 $F(b)=(b-b)f(b)=0$。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $F(a)=F(b)=0$，根据罗尔定理，至少存在一点 $\xi \in (a,b)$，使得 $F'(\xi)=0$。
步骤 4：计算辅助函数的导数
计算辅助函数的导数 $F'(x)=(b-x)f'(x)-f(x)$，并代入 $\xi$，得到 $F'(\xi)=(b-\xi)f'(\xi)-f(\xi)=0$。
步骤 5：解方程
解方程 $(b-\xi)f'(\xi)-f(\xi)=0$，得到 $f(\xi)=\dfrac{b-\xi}{a}f'(\xi)$。