题目
【例1.34】把x→0+时的无穷小量alpha=int_(0)^xcos t^2dt，beta=int_(0)^x^(2)tansqrt(tdt)，gamma=int_(0)^sqrt(x)sin t^3dt排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（） (A.)α,β,γ. (B.)α,γ,β. (C.)β,α,γ. (D.)β,γ,α.
【例1.34】把x→0+时的无穷小量$\alpha=\int_{0}^{x}\cos t^{2}dt$，$\beta=\int_{0}^{x^{2}}\tan\sqrt{tdt}$，$\gamma=\int_{0}^{\sqrt{x}}\sin t^{3}dt$排序，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是（） (
A.)α,β,γ. (
B.)α,γ,β. (
C.)β,α,γ. (
D.)β,γ,α.
A.)α,β,γ. (
B.)α,γ,β. (
C.)β,α,γ. (
D.)β,γ,α.
题目解答
答案
分析每个无穷小量的阶数：
1. $\alpha = \int_0^x \cos t^2 \, dt$，当 $x \to 0^+$ 时，$\cos t^2 \to 1$，故 $\alpha \sim x$（一阶无穷小）。
2. $\beta = \int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} \, dt$，近似 $\tan \sqrt{t} \sim \sqrt{t}$，导数 $\frac{d\beta}{dx} \sim 2x^2$，故 $\beta \sim x^3$（三阶无穷小）。
3. $\gamma = \int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 \, dt$，近似 $\sin t^3 \sim t^3$，导数 $\frac{d\gamma}{dx} \sim \frac{1}{2}x$，故 $\gamma \sim x^2$（二阶无穷小）。
按阶数从低到高排列：$\alpha$（一阶）$\to$ $\gamma$（二阶）$\to$ $\beta$（三阶）。
答案：$\boxed{B}$
解析
考查要点：本题主要考查无穷小量阶数的比较，需要利用泰勒展开和积分近似的方法，分析各积分表达式在$x \to 0^+$时的主部阶数。
解题核心思路：
- 近似被积函数：当积分变量趋近于0时，将被积函数展开为泰勒多项式，保留主部项。
- 计算积分近似值：将被积函数的近似表达式代入积分，计算积分结果的主部阶数。
- 比较阶数：根据积分结果的阶数，确定各无穷小量的排列顺序。
破题关键点：
- α的阶数：$\cos t^2 \approx 1$，积分结果为$x$（一阶）。
- β的阶数：$\tan \sqrt{t} \approx \sqrt{t}$，积分结果为$x^3$（三阶）。
- γ的阶数：$\sin t^3 \approx t^3$，积分结果为$x^2$（二阶）。
分析α的阶数
当$x \to 0^+$时，积分$\alpha = \int_{0}^{x} \cos t^2 \, dt$中，$t^2$趋近于0，因此$\cos t^2 \approx 1$。此时积分近似为：
$\alpha \approx \int_{0}^{x} 1 \, dt = x$
结论：$\alpha$是一阶无穷小。
分析β的阶数
积分$\beta = \int_{0}^{x^2} \tan \sqrt{t} \, dt$中，当$t$趋近于0时，$\tan \sqrt{t} \approx \sqrt{t}$。积分近似为：
$\beta \approx \int_{0}^{x^2} \sqrt{t} \, dt = \frac{2}{3} t^{3/2} \Big|_{0}^{x^2} = \frac{2}{3} (x^2)^{3/2} = \frac{2}{3} x^3$
结论：$\beta$是三阶无穷小。
分析γ的阶数
积分$\gamma = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sin t^3 \, dt$中，当$t$趋近于0时，$\sin t^3 \approx t^3$。积分近似为：
$\gamma \approx \int_{0}^{\sqrt{x}} t^3 \, dt = \frac{1}{4} t^4 \Big|_{0}^{\sqrt{x}} = \frac{1}{4} (\sqrt{x})^4 = \frac{1}{4} x^2$
结论：$\gamma$是二阶无穷小。