题目
求曲线 =(e)^-x 上通过原点的切线方程及和直线 x+y=2 垂直的法线方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求曲线 $y={e}^{-x}$ 上任一点的切线方程
曲线 $y={e}^{-x}$ 上任一点 $({x}_{0},{e}^{-{x}_{0}})$ 处的切线方程为 $y-{e}^{-{x}_{0}}=-({e}^{-x}){|}_{x={x}_{0}}(x-{x}_{0})$，即 $y-{e}^{-{x}_{0}}=-{e}^{-{x}_{0}}(x-{x}_{0})$。
步骤 2：求通过原点的切线方程
由于切线过原点，将 $x=0$，$y=0$ 代入切线方程得 $0-{e}^{-{x}_{0}}=-{e}^{-{x}_{0}}(0-{x}_{0})$，解得 ${x}_{0}=-1$。因此，切点为 $(-1,e)$，过原点的切线方程为 $y=-ex$。
步骤 3：求与直线 $x+y=2$ 垂直的法线方程
曲线 $y={e}^{-x}$ 上任意点的法线方程为 $y-{e}^{-{x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}(x-{x}_{0})$。由于法线与直线 $x+y=2$ 垂直，故有 ${e}^{{x}_{0}}\cdot (-1)=-1$，解得 ${x}_{0}=0$。因此，所求法线方程为 $y=x+1$。
曲线 $y={e}^{-x}$ 上任一点 $({x}_{0},{e}^{-{x}_{0}})$ 处的切线方程为 $y-{e}^{-{x}_{0}}=-({e}^{-x}){|}_{x={x}_{0}}(x-{x}_{0})$，即 $y-{e}^{-{x}_{0}}=-{e}^{-{x}_{0}}(x-{x}_{0})$。
步骤 2：求通过原点的切线方程
由于切线过原点，将 $x=0$，$y=0$ 代入切线方程得 $0-{e}^{-{x}_{0}}=-{e}^{-{x}_{0}}(0-{x}_{0})$，解得 ${x}_{0}=-1$。因此，切点为 $(-1,e)$，过原点的切线方程为 $y=-ex$。
步骤 3：求与直线 $x+y=2$ 垂直的法线方程
曲线 $y={e}^{-x}$ 上任意点的法线方程为 $y-{e}^{-{x}_{0}}={e}^{{x}_{0}}(x-{x}_{0})$。由于法线与直线 $x+y=2$ 垂直，故有 ${e}^{{x}_{0}}\cdot (-1)=-1$，解得 ${x}_{0}=0$。因此，所求法线方程为 $y=x+1$。