题目
设全集U=R，集合A=(x|2x-1≥1)，B=(x|x2-4x-5＜0)．（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅱ）设集合C=(x|m+1＜x＜2m-1)，若B∩C=C，求实数m的取值范围．
设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}．
（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；
（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．
（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；
（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围．
题目解答
答案
解：（Ⅰ）∵全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}={x|x≥1}，
B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}，
∴A∩B={x|1≤x＜5}，
（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}；
（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，
∴C⊆B，
当C=∅时，2m-1≤m+1，
解得m≤2，
当C≠∅时，由C⊆B得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1＜2m-1}\\{m+1≥-1}\\{2m-1≤5}\end{array}}\right.$，解得：2＜m≤3，
综上所述：m的取值范围是（-∞，3]．
B={x|x2-4x-5＜0}={x|-1＜x＜5}，
∴A∩B={x|1≤x＜5}，
（CUA）∪（CUB）={x|x＜1或x≥5}；
（Ⅱ）∵集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，B∩C=C，
∴C⊆B，
当C=∅时，2m-1≤m+1，
解得m≤2，
当C≠∅时，由C⊆B得$\left\{{\begin{array}{l}{m+1＜2m-1}\\{m+1≥-1}\\{2m-1≤5}\end{array}}\right.$，解得：2＜m≤3，
综上所述：m的取值范围是（-∞，3]．
解析
步骤 1：求解集合A
集合A定义为{x|2^{x-1}≥1}，即2^{x-1}≥1，解得x-1≥0，即x≥1。因此，A={x|x≥1}。
步骤 2：求解集合B
集合B定义为{x|x^{2}-4x-5＜0}，解这个不等式，我们得到x^{2}-4x-5=0的根为x=5和x=-1，因此不等式的解为-1＜x＜5。所以，B={x|-1＜x＜5}。
步骤 3：求解A∩B
A∩B即为集合A和集合B的交集，根据步骤1和步骤2，我们得到A∩B={x|1≤x＜5}。
步骤 4：求解（∁_UA）∪（∁_UB）
∁_UA表示集合A在全集U中的补集，即{x|x＜1}；∁_UB表示集合B在全集U中的补集，即{x|x≤-1或x≥5}。因此，（∁_UA）∪（∁_UB）={x|x＜1或x≥5}。
【答案】
A∩B={x|1≤x＜5}，（∁_UA）∪（∁_UB）={x|x＜1或x≥5}。
（Ⅱ）接下来，我们解决集合C的定义和求解实数m的取值范围。
【解析】
步骤 1：求解集合C
集合C定义为{x|m+1＜x＜2m-1}，根据B∩C=C，即C⊆B，我们需要找到m的取值范围，使得C⊆B。
步骤 2：分析C⊆B的条件
当C=∅时，即m+1≥2m-1，解得m≤2。
当C≠∅时，即m+1＜2m-1，解得m＞2，同时需要满足C⊆B，即m+1≥-1且2m-1≤5，解得m≥-2且m≤3，结合m＞2，我们得到2＜m≤3。
集合A定义为{x|2^{x-1}≥1}，即2^{x-1}≥1，解得x-1≥0，即x≥1。因此，A={x|x≥1}。
步骤 2：求解集合B
集合B定义为{x|x^{2}-4x-5＜0}，解这个不等式，我们得到x^{2}-4x-5=0的根为x=5和x=-1，因此不等式的解为-1＜x＜5。所以，B={x|-1＜x＜5}。
步骤 3：求解A∩B
A∩B即为集合A和集合B的交集，根据步骤1和步骤2，我们得到A∩B={x|1≤x＜5}。
步骤 4：求解（∁_UA）∪（∁_UB）
∁_UA表示集合A在全集U中的补集，即{x|x＜1}；∁_UB表示集合B在全集U中的补集，即{x|x≤-1或x≥5}。因此，（∁_UA）∪（∁_UB）={x|x＜1或x≥5}。
【答案】
A∩B={x|1≤x＜5}，（∁_UA）∪（∁_UB）={x|x＜1或x≥5}。
（Ⅱ）接下来，我们解决集合C的定义和求解实数m的取值范围。
【解析】
步骤 1：求解集合C
集合C定义为{x|m+1＜x＜2m-1}，根据B∩C=C，即C⊆B，我们需要找到m的取值范围，使得C⊆B。
步骤 2：分析C⊆B的条件
当C=∅时，即m+1≥2m-1，解得m≤2。
当C≠∅时，即m+1＜2m-1，解得m＞2，同时需要满足C⊆B，即m+1≥-1且2m-1≤5，解得m≥-2且m≤3，结合m＞2，我们得到2＜m≤3。