证明方程ln(1+x^2)=x+1有且仅有一个实根

步骤 1：定义函数
设函数 $f(x) = \ln(1+x^2) - x - 1$，我们需要证明该函数有且仅有一个实根。
步骤 2：求导数
计算 $f(x)$ 的导数 $f'(x)$，以确定函数的单调性。
$$
f'(x) = \frac{d}{dx}[\ln(1+x^2) - x - 1] = \frac{2x}{1+x^2} - 1 = \frac{2x - (1+x^2)}{1+x^2} = \frac{-(1-x)^2}{1+x^2}
$$
步骤 3：分析导数的符号
由于 $1+x^2 > 0$ 对所有实数 $x$ 成立，且 $(1-x)^2 \geq 0$，因此 $f'(x) \leq 0$ 对所有实数 $x$ 成立。这意味着 $f(x)$ 是一个单调递减的函数。
步骤 4：确定函数值的符号
计算 $f(x)$ 在某些点的值，以确定函数的符号变化。
$$
f(0) = \ln(1+0^2) - 0 - 1 = -1 < 0
$$
$$
f(-1) = \ln(1+(-1)^2) - (-1) - 1 = \ln(2) > 0
$$
步骤 5：应用介值定理
由于 $f(x)$ 是单调递减的函数，且 $f(-1) > 0$，$f(0) < 0$，根据介值定理，存在唯一的 $x_0 \in (-1, 0)$ 使得 $f(x_0) = 0$。