lim _(xarrow 0)dfrac (e-{e)^cos x}(sqrt [3]{1+{x)^2}-1}=____________________.

考查要点：本题主要考查洛必达法则的应用，以及在处理复杂分式极限时的多次求导能力。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，分子$e - e^{\cos x}$和分母$\sqrt[3]{1+x^2} - 1$均趋近于$0$，形成$\dfrac{0}{0}$型不定式。此时需两次应用洛必达法则，分别对分子和分母求导，最终化简得到极限值。

破题关键点：

1. 识别不定式类型，确认洛必达法则适用条件。
2. 正确求导分子和分母的表达式，尤其注意链式法则和乘积法则的应用。
3. 判断是否需要重复使用洛必达法则，直至极限可直接代入计算。

步骤1：验证洛必达法则的适用性
当$x \rightarrow 0$时：

• 分子：$e - e^{\cos 0} = e - e = 0$
• 分母：$\sqrt[3]{1+0} - 1 = 0$
  因此，原式为$\dfrac{0}{0}$型，可应用洛必达法则。

步骤2：第一次应用洛必达法则
对分子和分母分别求导：

• 分子导数：$\dfrac{d}{dx}(e - e^{\cos x}) = -e^{\cos x} \cdot (-\sin x) = e^{\cos x} \sin x$
• 分母导数：$\dfrac{d}{dx}\left( (1+x^2)^{1/3} - 1 \right) = \dfrac{1}{3}(1+x^2)^{-2/3} \cdot 2x = \dfrac{2x}{3(1+x^2)^{2/3}}$

此时极限变为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{\cos x} \sin x}{\dfrac{2x}{3(1+x^2)^{2/3}}} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{3 e^{\cos x} \sin x (1+x^2)^{2/3}}{2x}$

步骤3：判断是否继续使用洛必达法则
当$x \rightarrow 0$时，$\sin x \approx x$，因此分子$\sim 3 e^{\cos x} \cdot x \cdot 1$，分母$\sim 2x$，此时极限形式为$\dfrac{3e}{2}$。但实际计算中，分子和分母仍趋近于$0$，需再次应用洛必达法则。

步骤4：第二次应用洛必达法则
对分子和分母再次求导：

• 分子导数：
  $\dfrac{d}{dx}\left( e^{\cos x} \sin x \right) = e^{\cos x} (-\sin x) \sin x + e^{\cos x} \cos x = e^{\cos x} (\cos x - \sin^2 x)$
• 分母导数：
  $\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{2x}{3(1+x^2)^{2/3}} \right) = \dfrac{2 \cdot (1+x^2)^{2/3} - 2x \cdot \dfrac{4x}{3(1+x^2)^{1/3}}}}{3(1+x^2)^{4/3}}} = \dfrac{6(1+x^2) - 8x^2}{9(1+x^2)^{5/3}}}$

化简后极限为：
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{e^{\cos x} (\cos x - \sin^2 x) \cdot 9(1+x^2)^{5/3}}{6 - 2x^2}$

步骤5：代入$x=0$计算最终结果
当$x=0$时：

• $e^{\cos 0} = e$
• $\cos 0 - \sin^2 0 = 1$
• $9(1+0)^{5/3} = 9$
• $6 - 0 = 6$

因此，极限值为：
$\dfrac{e \cdot 1 \cdot 9}{6} = \dfrac{3e}{2}$