题目
1.假设函数f(x )在闭区间[0,1 ]上连续,并且对[0,1]上任一点x有 leqslant f(x)leqslant 1. 试-|||-证明[0,1]中必存在一点c,使得 f(c)=c (c称为函数f(x )的不动点).
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - x$。由于 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，因此 $F(x)$ 也在 $[0,1]$ 上连续。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
根据题设条件，$0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 对于所有 $x \in [0,1]$ 成立。因此，$F(0) = f(0) - 0 = f(0) \geqslant 0$，$F(1) = f(1) - 1 \leqslant 0$。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上的值在 $a$ 和 $b$ 处异号，那么在 $(a,b)$ 内至少存在一个点 $c$，使得 $F(c) = 0$。在本题中，如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则 $0$ 或 $1$ 即为 $f(x)$ 的不动点；如果 $F(0) > 0$ 且 $F(1) < 0$，则由零点定理，必存在 $c \in (0,1)$，使得 $F(c) = 0$，即 $f(c) = c$，这时 $c$ 为 $f(x)$ 的不动点。
定义辅助函数 $F(x) = f(x) - x$。由于 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，因此 $F(x)$ 也在 $[0,1]$ 上连续。
步骤 2：计算 $F(0)$ 和 $F(1)$
根据题设条件，$0 \leqslant f(x) \leqslant 1$ 对于所有 $x \in [0,1]$ 成立。因此，$F(0) = f(0) - 0 = f(0) \geqslant 0$，$F(1) = f(1) - 1 \leqslant 0$。
步骤 3：应用零点定理
根据零点定理，如果一个连续函数在闭区间 $[a,b]$ 上的值在 $a$ 和 $b$ 处异号，那么在 $(a,b)$ 内至少存在一个点 $c$，使得 $F(c) = 0$。在本题中，如果 $F(0) = 0$ 或 $F(1) = 0$，则 $0$ 或 $1$ 即为 $f(x)$ 的不动点；如果 $F(0) > 0$ 且 $F(1) < 0$，则由零点定理，必存在 $c \in (0,1)$，使得 $F(c) = 0$，即 $f(c) = c$，这时 $c$ 为 $f(x)$ 的不动点。