9.设a_(n)=int_(0)^1x^nsqrt(1-x^2)dx,b_(n)=int_(0)^(pi)/(2)sin^ntdt,则极限lim_(ntoinfty)[((n+1)a_(n))/(b_(n))]^n=( ).A.0 B.e C.e^-1 D.+infty

考查要点：本题主要考查积分变换、递推关系的应用以及极限的计算，涉及变量替换、递推公式的推导和自然指数极限形式的运用。

解题核心思路：

1. 变量替换：通过$x = \sin t$将$a_n$转化为与$b_n$相关的表达式，建立两者联系。
2. 递推关系：利用积分递推公式简化$b_{n+2}$与$b_n$的关系，进而简化$a_n$的表达式。
3. 极限计算：将比值$\frac{(n+1)a_n}{b_n}$化简为$\frac{n+1}{n+2}$，通过近似和极限公式求出结果。

破题关键点：

• 变量替换是连接$a_n$和$b_n$的桥梁。
• 递推关系的正确应用是简化表达式的突破口。
• 自然指数极限形式的识别是最终求解的关键。

步骤1：变量替换关联$a_n$与$b_n$

令$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$，当$x$从$0$到$1$时，$t$从$0$到$\frac{\pi}{2}$。代入$a_n$的表达式：
$a_n = \int_{0}^{1} x^n \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \cdot \cos t \cdot \cos t \, dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \cos^2 t \, dt.$
将$\cos^2 t = 1 - \sin^2 t$代入，得：
$a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n t \, dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{n+2} t \, dt = b_n - b_{n+2}.$

步骤2：利用递推关系简化表达式

已知递推公式$b_{n+2} = \frac{n+1}{n+2} b_n$，代入$a_n$的表达式：
$a_n = b_n - \frac{n+1}{n+2} b_n = b_n \left(1 - \frac{n+1}{n+2}\right) = \frac{b_n}{n+2}.$
因此：
$\frac{(n+1)a_n}{b_n} = \frac{(n+1) \cdot \frac{b_n}{n+2}}{b_n} = \frac{n+1}{n+2}.$

步骤3：计算极限

当$n \to \infty$时，$\frac{n+1}{n+2} \approx 1 - \frac{1}{n+2}$，故：
$\lim_{n \to \infty} \left[\frac{n+1}{n+2}\right]^n = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n+2}\right)^n.$
令$k = n+2$，则当$n \to \infty$时，$k \to \infty$，且：
$\left(1 - \frac{1}{k}\right)^{k-2} = \left(1 - \frac{1}{k}\right)^k \cdot \left(1 - \frac{1}{k}\right)^{-2} \to e^{-1} \cdot 1 = e^{-1}.$