题目

17.求p的取值范围，使得int_(1)^+inftysin(pi)/(x)cdot(dx)/(ln^p)x收敛.

17.求p的取值范围，使得$\int_{1}^{+\infty}\sin\frac{\pi}{x}\cdot\frac{dx}{\ln^{p}x}$收敛.

题目解答

答案

当 $x \to 1^+$ 时，$\ln x \approx x-1$，被积函数近似为 $\pi^2 (1-x) / (x-1)^p = -\pi^2 (x-1)^{1-p}$，积分收敛需 $1-p > -1$，即 $p < 2$。 当 $x \to +\infty$ 时，$\sin \frac{\pi}{x} \approx \frac{\pi}{x}$，被积函数近似为 $\frac{\pi}{x \ln^p x}$，积分收敛需 $p > 1$。 结合两条件得 $1 < p < 2$。 答案：$\boxed{1 < p < 2}$

解析

考查要点：本题考察广义积分的收敛性，需分别分析积分在上下限附近的收敛性，结合比较判别法确定参数范围。

解题思路：

  1. 分段分析：积分区间为$[1, +\infty)$，需分别考虑$x \to 1^+$和$x \to +\infty$时被积函数的行为。
  2. 近似展开：
    • 当$x \to 1^+$时，$\ln x \approx x-1$，$\sin\frac{\pi}{x} \approx \pi(1-x)$，被积函数近似为$(x-1)^{1-p}$，需满足$1-p > -1$，即$p < 2$。
    • 当$x \to +\infty$时，$\sin\frac{\pi}{x} \approx \frac{\pi}{x}$，被积函数近似为$\frac{1}{x \ln^p x}$，需满足$p > 1$。
  3. 综合条件：结合两部分的收敛条件，得到$1 < p < 2$。

当$x \to 1^+$时

  1. 变量替换：令$t = x - 1$，则$\ln x \approx t$，$\sin\frac{\pi}{x} \approx \pi t$。
  2. 被积函数近似：$\sin\frac{\pi}{x} \cdot \frac{1}{\ln^p x} \approx \pi t \cdot \frac{1}{t^p} = \pi t^{1-p}$。
  3. 积分收敛性：$\int_{0}^{a} t^{1-p} dt$收敛需$1-p > -1$，即$p < 2$。

当$x \to +\infty$时

  1. 近似展开：$\sin\frac{\pi}{x} \approx \frac{\pi}{x}$。
  2. 被积函数近似：$\sin\frac{\pi}{x} \cdot \frac{1}{\ln^p x} \approx \frac{\pi}{x \ln^p x}$。
  3. 变量替换：令$t = \ln x$，则$dt = \frac{1}{x} dx$，积分变为$\int_{\ln A}^{+\infty} \frac{\pi}{t^p} dt$。
  4. 积分收敛性：收敛需$p > 1$。

综合条件

  • $x \to 1^+$要求$p < 2$，$x \to +\infty$要求$p > 1$，故$1 < p < 2$。