题目
[题目]求椭圆 dfrac ({x)^2}(4)+dfrac ({y)^2}(9)=1 在点 (1,dfrac (3sqrt {3)}(2)) 处的法线方-|||-程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求椭圆在给定点处的切线斜率
椭圆方程为 $\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1$，对两边同时求导，得到 $\dfrac{2x}{4}+\dfrac{2y}{9}y'=0$，即 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{9}y'=0$。将点 $(1,\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$ 代入，得到 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{9}y'=0$，解得 $y'=-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$。因此，切线斜率为 $-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$。
步骤 2：求法线斜率
法线斜率是切线斜率的负倒数，因此法线斜率为 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。
步骤 3：求法线方程
已知法线斜率为 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，且过点 $(1,\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$，根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，代入点和斜率，得到 $y-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}(x-1)$。整理得法线方程为 $y=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。
椭圆方程为 $\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{9}=1$，对两边同时求导，得到 $\dfrac{2x}{4}+\dfrac{2y}{9}y'=0$，即 $\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{9}y'=0$。将点 $(1,\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$ 代入，得到 $\dfrac{1}{2}+\dfrac{\dfrac{3\sqrt{3}}{2}}{9}y'=0$，解得 $y'=-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$。因此，切线斜率为 $-\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$。
步骤 2：求法线斜率
法线斜率是切线斜率的负倒数，因此法线斜率为 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$。
步骤 3：求法线方程
已知法线斜率为 $\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$，且过点 $(1,\dfrac{3\sqrt{3}}{2})$，根据点斜式方程 $y-y_1=m(x-x_1)$，代入点和斜率，得到 $y-\dfrac{3\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}(x-1)$。整理得法线方程为 $y=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。