(2021年2)已知 (x)=dfrac (x|x|)(1+x) 求f(x)的凹凸区间及渐近线.

步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $f(x)=\dfrac {x|x|}{1+x}$ 的一阶导数 $f'(x)$ 和二阶导数 $f''(x)$，以确定函数的凹凸区间。
- 当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)=\dfrac {x^2}{1+x}$，则 $f'(x)=\dfrac {2x(1+x)-x^2}{(1+x)^2}=\dfrac {x^2+2x}{(1+x)^2}$，$f''(x)=\dfrac {2(1+x)^2-(x^2+2x)2(1+x)}{(1+x)^4}=\dfrac {2(1+x)-2(x^2+2x)}{(1+x)^3}=\dfrac {2-2x^2}{(1+x)^3}$。
- 当 $x<0$ 时，$f(x)=\dfrac {-x^2}{1+x}$，则 $f'(x)=\dfrac {-2x(1+x)+x^2}{(1+x)^2}=\dfrac {-x^2-2x}{(1+x)^2}$，$f''(x)=\dfrac {-2(1+x)^2+(x^2+2x)2(1+x)}{(1+x)^4}=\dfrac {-2(1+x)+2(x^2+2x)}{(1+x)^3}=\dfrac {-2+2x^2}{(1+x)^3}$。
步骤 2：确定凹凸区间
- 当 $x\geqslant 0$ 时，$f''(x)=\dfrac {2-2x^2}{(1+x)^3}$，令 $f''(x)=0$，解得 $x=1$，则 $x\in(0,1)$ 时，$f''(x)>0$，函数为凹区间；$x\in(1,+\infty)$ 时，$f''(x)<0$，函数为凸区间。
- 当 $x<0$ 时，$f''(x)=\dfrac {-2+2x^2}{(1+x)^3}$，令 $f''(x)=0$，解得 $x=-1$，则 $x\in(-\infty,-1)$ 时，$f''(x)<0$，函数为凸区间；$x\in(-1,0)$ 时，$f''(x)>0$，函数为凹区间。
步骤 3：求渐近线
- 水平渐近线：$\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac {f(x)}{x}=\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac {|x|}{1+x}=\lim _{x\rightarrow \pm \infty }\dfrac {1}{\dfrac {1}{|x|}+\dfrac {1}{x}}=1$，所以水平渐近线为 $y=x$。
- 垂直渐近线：$\lim _{x\rightarrow -1}f(x)=\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {x|x|}{1+x}=\lim _{x\rightarrow -1}\dfrac {-x^2}{1+x}=-\infty$，所以垂直渐近线为 $x=-1$。