题目
例2.11 求下列极限:-|||-(4)lim _(narrow infty )(sqrt ({n)^2+n}-sqrt ({n)^2-n})
题目解答
答案
解析
步骤 1：有理化分子
为了消除根号，我们可以通过有理化分子来简化表达式。为此，我们将分子和分母同时乘以 $\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}$，这样可以利用差的平方公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 来简化表达式。
步骤 2：简化表达式
分子变为 $(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}) = (n^2+n) - (n^2-n) = 2n$，分母为 $\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}$。
步骤 3：计算极限
现在，我们有 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$。为了计算这个极限，我们可以将分子和分母同时除以 $n$，得到 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}}$。当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{n}$ 趋于 0，因此极限为 $\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$。
为了消除根号，我们可以通过有理化分子来简化表达式。为此，我们将分子和分母同时乘以 $\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}$，这样可以利用差的平方公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ 来简化表达式。
步骤 2：简化表达式
分子变为 $(\sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n})(\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}) = (n^2+n) - (n^2-n) = 2n$，分母为 $\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}$。
步骤 3：计算极限
现在，我们有 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+n} + \sqrt{n^2-n}}$。为了计算这个极限，我们可以将分子和分母同时除以 $n$，得到 $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}}$。当 $n$ 趋于无穷大时，$\frac{1}{n}$ 趋于 0，因此极限为 $\frac{2}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}} = \frac{2}{1+1} = 1$。