题目
若 f(x)= { ,|x|gt c . 在定义域上连续,试求常数c。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定函数在x=c和x=-c处的连续性
函数f(x)在定义域上连续，意味着在x=c和x=-c处，函数的左极限、右极限和函数值都相等。由于函数在|x|≤c时为x^2+1，在|x|>c时为10/|x|，因此需要在x=c和x=-c处验证连续性。
步骤 2：计算x=c处的左极限和右极限
在x=c处，左极限为lim(x→c-)f(x)=c^2+1，右极限为lim(x→c+)f(x)=10/c。由于函数在x=c处连续，因此c^2+1=10/c。
步骤 3：求解方程c^2+1=10/c
将方程两边同时乘以c，得到c^3+c=10。通过观察或试错法，可以发现c=2是方程的一个解，因为2^3+2=8+2=10。
步骤 4：验证x=-c处的连续性
由于函数f(x)在x=-c处的左极限和右极限也应相等，且函数在x=-c处的表达式与x=c处相同，因此c=2同样满足x=-c处的连续性条件。
函数f(x)在定义域上连续，意味着在x=c和x=-c处，函数的左极限、右极限和函数值都相等。由于函数在|x|≤c时为x^2+1，在|x|>c时为10/|x|，因此需要在x=c和x=-c处验证连续性。
步骤 2：计算x=c处的左极限和右极限
在x=c处，左极限为lim(x→c-)f(x)=c^2+1，右极限为lim(x→c+)f(x)=10/c。由于函数在x=c处连续，因此c^2+1=10/c。
步骤 3：求解方程c^2+1=10/c
将方程两边同时乘以c，得到c^3+c=10。通过观察或试错法，可以发现c=2是方程的一个解，因为2^3+2=8+2=10。
步骤 4：验证x=-c处的连续性
由于函数f(x)在x=-c处的左极限和右极限也应相等，且函数在x=-c处的表达式与x=c处相同，因此c=2同样满足x=-c处的连续性条件。