题目
48.设函数f(x)在[0.2]上连续,在(0,2)内二阶可导, ''(x)lt 0 ,且 f(0)=0 ,f(1)=0 .又晋-|||-曲线 y=f(x) 上任一点(x,y)处的曲率半径恒等于1.-|||-(1)求函数f(x);-|||-(2)计算||xydxdy,其中D是由直线 x=0 ,x=2 ,y=2 及曲线 y=f(x) 围成的平面区域.
题目解答
答案
】 (1)由题意知,在(0,2)上曲率半径为1,由此推得 f''(x)=-1, 即 f'(x)=-x+C, 从而 f(x)=-x2/2+Cx+D, 再由 f(0)=0,f(1)=0 得 C=D=0, 故 f(x)=-x2/2. (2)
(1)f(x)=-x2/2
(1)f(x)=-x2/2
解析
步骤 1：确定曲率半径与二阶导数的关系
曲率半径 $R$ 与二阶导数 $f''(x)$ 的关系为 $R = \frac{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}{|f''(x)|}$。题目中给出曲率半径恒等于1，即 $R = 1$，因此有 $\frac{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}{|f''(x)|} = 1$。由于 $f''(x) < 0$，则 $|f''(x)| = -f''(x)$，从而得到 $[1 + (f'(x))^2]^{3/2} = -f''(x)$。
步骤 2：求解二阶导数 $f''(x)$
由于 $f''(x) < 0$，且曲率半径恒等于1，可以推得 $f''(x) = -1$。因此，$f'(x) = -x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解函数 $f(x)$
对 $f'(x) = -x + C$ 积分，得到 $f(x) = -\frac{x^2}{2} + Cx + D$，其中 $D$ 是积分常数。由 $f(0) = 0$ 和 $f(1) = 0$ 可得 $D = 0$ 和 $C = \frac{1}{2}$，从而 $f(x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}$。
步骤 4：计算二重积分
二重积分 $\iint_{D} xy \, dxdy$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$x=2$，$y=2$ 及曲线 $y=f(x)$ 围成的平面区域。由于 $f(x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}$，则 $D$ 的边界为 $x=0$，$x=2$，$y=2$ 和 $y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}$。因此，二重积分可以表示为 $\int_{0}^{2} \int_{-\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}}^{2} xy \, dydx$。计算得到 $\int_{0}^{2} \int_{-\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}}^{2} xy \, dydx = \int_{0}^{2} \left[ \frac{xy^2}{2} \right]_{-\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}}^{2} dx = \int_{0}^{2} \left( 2x - \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{4} \right) dx = \left[ x^2 - \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{2} = 4 - \frac{16}{16} + \frac{8}{12} = 4 - 1 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$。
曲率半径 $R$ 与二阶导数 $f''(x)$ 的关系为 $R = \frac{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}{|f''(x)|}$。题目中给出曲率半径恒等于1，即 $R = 1$，因此有 $\frac{[1 + (f'(x))^2]^{3/2}}{|f''(x)|} = 1$。由于 $f''(x) < 0$，则 $|f''(x)| = -f''(x)$，从而得到 $[1 + (f'(x))^2]^{3/2} = -f''(x)$。
步骤 2：求解二阶导数 $f''(x)$
由于 $f''(x) < 0$，且曲率半径恒等于1，可以推得 $f''(x) = -1$。因此，$f'(x) = -x + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 3：求解函数 $f(x)$
对 $f'(x) = -x + C$ 积分，得到 $f(x) = -\frac{x^2}{2} + Cx + D$，其中 $D$ 是积分常数。由 $f(0) = 0$ 和 $f(1) = 0$ 可得 $D = 0$ 和 $C = \frac{1}{2}$，从而 $f(x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}$。
步骤 4：计算二重积分
二重积分 $\iint_{D} xy \, dxdy$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$x=2$，$y=2$ 及曲线 $y=f(x)$ 围成的平面区域。由于 $f(x) = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}$，则 $D$ 的边界为 $x=0$，$x=2$，$y=2$ 和 $y = -\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}$。因此，二重积分可以表示为 $\int_{0}^{2} \int_{-\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}}^{2} xy \, dydx$。计算得到 $\int_{0}^{2} \int_{-\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}}^{2} xy \, dydx = \int_{0}^{2} \left[ \frac{xy^2}{2} \right]_{-\frac{x^2}{2} + \frac{x}{2}}^{2} dx = \int_{0}^{2} \left( 2x - \frac{x^3}{4} + \frac{x^2}{4} \right) dx = \left[ x^2 - \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{12} \right]_{0}^{2} = 4 - \frac{16}{16} + \frac{8}{12} = 4 - 1 + \frac{2}{3} = \frac{11}{3}$。