题目
设f(x)在[0,1]上可导, (0)=0, 且当 in (0,1) , lt f'(x)lt 1 试证当-|||-in (0,1),-|||-(({int )_(0)^af(x)dx)}^2gt (int )_(0)^a(f)^3(x)dx
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义辅助函数
定义辅助函数 $F(x)={({\int }_{0}^{x}f(t)dt)}^{2}-{\int }_{0}^{x}{f}^{3}(t)dt$ ，其中 $x\in [0,1]$。我们的目标是证明 $F(a) > 0$ 对于 $a\in (0,1)$ 成立。
步骤 2：计算 $F(0)$
由于 $f(0)=0$，我们有 $F(0)={({\int }_{0}^{0}f(t)dt)}^{2}-{\int }_{0}^{0}{f}^{3}(t)dt=0$。
步骤 3：计算 $F'(x)$
计算 $F(x)$ 的导数 $F'(x)$，我们得到 $F'(x)=2f(x){\int }_{0}^{x}f(t)dt-{f}^{3}(x)$。为了证明 $F(a) > 0$，我们需要证明 $F'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。
步骤 4：定义 $g(x)$ 并计算 $g'(x)$
定义 $g(x)=2{\int }_{0}^{x}f(t)dt-{f}^{2}(x)$，则 $F'(x)=f(x)g(x)$。由于 $f(0)=0$ 且 $f'(x) > 0$，我们有 $f(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。因此，我们只需要证明 $g(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。计算 $g'(x)$，我们得到 $g'(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)[1-f'(x)]$。由于 $0 < f'(x) < 1$，我们有 $g'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。
步骤 5：证明 $g(x) > 0$
由于 $g(0)=0$ 且 $g'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立，我们有 $g(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。因此，$F'(x)=f(x)g(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。
步骤 6：证明 $F(a) > 0$
由于 $F(0)=0$ 且 $F'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立，我们有 $F(a) > 0$ 对于 $a\in (0,1)$ 成立。因此，${({\int }_{0}^{a}f(x)dx)}^{2} > {\int }_{0}^{a}{f}^{3}(x)dx$ 对于 $a\in (0,1)$ 成立。
定义辅助函数 $F(x)={({\int }_{0}^{x}f(t)dt)}^{2}-{\int }_{0}^{x}{f}^{3}(t)dt$ ，其中 $x\in [0,1]$。我们的目标是证明 $F(a) > 0$ 对于 $a\in (0,1)$ 成立。
步骤 2：计算 $F(0)$
由于 $f(0)=0$，我们有 $F(0)={({\int }_{0}^{0}f(t)dt)}^{2}-{\int }_{0}^{0}{f}^{3}(t)dt=0$。
步骤 3：计算 $F'(x)$
计算 $F(x)$ 的导数 $F'(x)$，我们得到 $F'(x)=2f(x){\int }_{0}^{x}f(t)dt-{f}^{3}(x)$。为了证明 $F(a) > 0$，我们需要证明 $F'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。
步骤 4：定义 $g(x)$ 并计算 $g'(x)$
定义 $g(x)=2{\int }_{0}^{x}f(t)dt-{f}^{2}(x)$，则 $F'(x)=f(x)g(x)$。由于 $f(0)=0$ 且 $f'(x) > 0$，我们有 $f(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。因此，我们只需要证明 $g(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。计算 $g'(x)$，我们得到 $g'(x)=2f(x)-2f(x)f'(x)=2f(x)[1-f'(x)]$。由于 $0 < f'(x) < 1$，我们有 $g'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。
步骤 5：证明 $g(x) > 0$
由于 $g(0)=0$ 且 $g'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立，我们有 $g(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。因此，$F'(x)=f(x)g(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立。
步骤 6：证明 $F(a) > 0$
由于 $F(0)=0$ 且 $F'(x) > 0$ 对于 $x\in (0,1)$ 成立，我们有 $F(a) > 0$ 对于 $a\in (0,1)$ 成立。因此，${({\int }_{0}^{a}f(x)dx)}^{2} > {\int }_{0}^{a}{f}^{3}(x)dx$ 对于 $a\in (0,1)$ 成立。