int (e)^x(sin )^2xdx.

考查要点：本题主要考查分部积分法和三角恒等式的应用，需要将被积函数中的$\sin^2 x$通过恒等式转换为更易积分的形式，再结合分部积分完成计算。

解题核心思路：

1. 利用三角恒等式将$\sin^2 x$转化为$\frac{1 - \cos 2x}{2}$，简化积分形式；
2. 拆分积分为两个更简单的积分之和；
3. 对含$\cos 2x$的积分使用分部积分法，通过两次分部积分构造方程求解。

破题关键点：

• 正确应用三角恒等式是简化积分的关键；
• 分部积分法的两次应用需注意符号和系数的处理，避免计算错误。

步骤1：应用三角恒等式

利用$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$，原积分变为：
$\int e^x \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} \int e^x (1 - \cos 2x) \, dx = \frac{1}{2} \int e^x \, dx - \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x \, dx$

步骤2：计算第一个积分

直接积分$\int e^x \, dx$：
$\frac{1}{2} \int e^x \, dx = \frac{1}{2} e^x$

步骤3：处理第二个积分$\int e^x \cos 2x \, dx$

第一次分部积分：
设$u = \cos 2x$，$dv = e^x dx$，则$du = -2 \sin 2x dx$，$v = e^x$：
$\int e^x \cos 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx$

第二次分部积分：
对$\int e^x \sin 2x \, dx$，设$u = \sin 2x$，$dv = e^x dx$，则$du = 2 \cos 2x dx$，$v = e^x$：
$\int e^x \sin 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx$

构造方程：
将第二次分部积分的结果代入第一次的结果：
$\int e^x \cos 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2 \left( e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx \right)$
整理得：
$\int e^x \cos 2x \, dx = \frac{e^x}{5} (\cos 2x + 2 \sin 2x) + C$

步骤4：合并所有结果

将$\int e^x \cos 2x \, dx$代入原积分表达式：
$\int e^x \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2} e^x - \frac{1}{10} e^x (\cos 2x + 2 \sin 2x) + C$