题目
(12)曲线 =dfrac (x+4sin x)(5x-2cos x) 的水平渐近线方程为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定水平渐近线的定义
水平渐近线是指当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，函数 $y$ 趋向于某个常数值。对于有理函数，水平渐近线的确定通常依赖于分子和分母的最高次项的系数比。
步骤 2：分析函数的极限
对于函数 $y=\dfrac {x+4\sin x}{5x-2\cos x}$，当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，因此它们对分子和分母的主导项没有影响。因此，我们主要关注 $x$ 的最高次项。
步骤 3：计算极限
计算极限 $\lim_{x \to \infty} \dfrac {x+4\sin x}{5x-2\cos x}$，可以将分子和分母同时除以 $x$，得到：
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac {1+\frac{4\sin x}{x}}{5-\frac{2\cos x}{x}}$$
由于 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ 和 $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$，因此极限简化为：
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac {1+0}{5-0} = \dfrac {1}{5}$$
水平渐近线是指当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，函数 $y$ 趋向于某个常数值。对于有理函数，水平渐近线的确定通常依赖于分子和分母的最高次项的系数比。
步骤 2：分析函数的极限
对于函数 $y=\dfrac {x+4\sin x}{5x-2\cos x}$，当 $x$ 趋向于正无穷或负无穷时，$\sin x$ 和 $\cos x$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，因此它们对分子和分母的主导项没有影响。因此，我们主要关注 $x$ 的最高次项。
步骤 3：计算极限
计算极限 $\lim_{x \to \infty} \dfrac {x+4\sin x}{5x-2\cos x}$，可以将分子和分母同时除以 $x$，得到：
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac {1+\frac{4\sin x}{x}}{5-\frac{2\cos x}{x}}$$
由于 $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$ 和 $\lim_{x \to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$，因此极限简化为：
$$\lim_{x \to \infty} \dfrac {1+0}{5-0} = \dfrac {1}{5}$$