题目
证明方程x=asinx+b，其中a＞0，b＞0，至少有一个正根，并且它不超过a+b．
证明方程x=asinx+b，其中a＞0，b＞0，至少有一个正根，并且它不超过a+b．
题目解答
答案
令f(x)=x-asinx-b，显见f(x)在[0，a+b]上连续，且因为 f(0)=-b＜0，f(a+b)=a[1-sin(a+b)]≥0 若f(a+b)=0，则a+b就是题设方程的一个正根，结论是成立的；若f(a+b)＞0，则由零点定理，至少存在一点ξ∈(0，a+b)，使得f(ξ)=0，结论得证．
解析
步骤 1：定义函数
定义函数f(x)=x-asinx-b，其中a＞0，b＞0。这个函数在[0，a+b]上是连续的。
步骤 2：计算f(0)
计算f(0)=-b＜0，因为b＞0。
步骤 3：计算f(a+b)
计算f(a+b)=a[1-sin(a+b)]。因为sin(a+b)的值域在[-1,1]之间，所以1-sin(a+b)的值域在[0,2]之间，因此f(a+b)≥0。
步骤 4：应用零点定理
如果f(a+b)=0，则a+b就是方程x=asinx+b的一个正根。如果f(a+b)＞0，则根据零点定理，至少存在一点ξ∈(0，a+b)，使得f(ξ)=0，即ξ是方程x=asinx+b的一个正根。
定义函数f(x)=x-asinx-b，其中a＞0，b＞0。这个函数在[0，a+b]上是连续的。
步骤 2：计算f(0)
计算f(0)=-b＜0，因为b＞0。
步骤 3：计算f(a+b)
计算f(a+b)=a[1-sin(a+b)]。因为sin(a+b)的值域在[-1,1]之间，所以1-sin(a+b)的值域在[0,2]之间，因此f(a+b)≥0。
步骤 4：应用零点定理
如果f(a+b)=0，则a+b就是方程x=asinx+b的一个正根。如果f(a+b)＞0，则根据零点定理，至少存在一点ξ∈(0，a+b)，使得f(ξ)=0，即ξ是方程x=asinx+b的一个正根。