【题目】-|||-求下列极限:-|||-lim _(xarrow +infty )arcsin (sqrt ({x)^2+x}-x) ;

步骤 1：化简极限表达式
首先，我们注意到极限表达式中的 $\sqrt{x^2 + x} - x$ 部分，可以尝试通过有理化的方法来简化。为此，我们乘以共轭表达式 $\sqrt{x^2 + x} + x$，得到：
$$
\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{(\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x)}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x}
$$
步骤 2：进一步化简
将上一步得到的表达式代入原极限表达式中，得到：
$$
\lim_{x \to +\infty} \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} \right)
$$
步骤 3：提取公因子并简化
在分母中提取 $x$ 的公因子，得到：
$$
\lim_{x \to +\infty} \arcsin \left( \frac{x}{x \left( \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1 \right)} \right) = \lim_{x \to +\infty} \arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \right)
$$
步骤 4：计算极限
当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此：
$$
\lim_{x \to +\infty} \arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} \right) = \arcsin \left( \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} \right) = \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6}
$$