题目

某班级只有两个宿舍的男生，每宿舍4人。每周从这8人中随机抽取一人担任周管理员，同一人不连续两周担任管理员。问开学前三周的管理员都来自同一宿舍的概率在以下哪个范围？ A. 0%-10%B. 10%-20%C. 20%-30%D. 30%-40%

某班级只有两个宿舍的男生，每宿舍4人。每周从这8人中随机抽取一人担任周管理员，同一人不连续两周担任管理员。问开学前三周的管理员都来自同一宿舍的概率在以下哪个范围？

  • A. 0%-10%
  • B. 10%-20%
  • C. 20%-30%
  • D. 30%-40%

题目解答

答案

1. **总选择方式**： 第一周8种选择，第二、三周各7种（不能与前周重复），总方式为 $8 \times 7 \times 7 = 392$ 种。 2. **同一宿舍方式**： 第一周4种（任一宿舍），第二、三周各3种（同宿舍但不同人），每宿舍方式为 $4 \times 3 \times 3 = 36$ 种。两宿舍共 $2 \times 36 = 72$ 种。 3. **概率计算**： 概率为 $\frac{72}{392} = \frac{9}{49} \approx 0.1837$，即约18.37%。 **答案**：B. 10%-20%

解析

考查要点：本题主要考查条件概率和排列组合的应用，需要考虑限制条件（同一人不连续两周担任）对总情况数和符合条件情况数的影响。

解题核心思路：

  1. 总情况数：第一周有8种选择，第二周因不能与第一周重复，有7种选择；第三周同理有7种选择，总情况数为 $8 \times 7 \times 7$。
  2. 符合条件情况数：前三周均来自同一宿舍。需分两步：
    • 第一周：选择某宿舍的4人之一；
    • 第二、三周：需从同一宿舍的剩余3人中选择，且不能与前一周重复。
  3. 概率计算：用符合条件情况数除以总情况数，判断范围。

破题关键点：

  • 限制条件的处理（连续两周不能重复）；
  • 分步计算总情况数和符合条件情况数；
  • 分数化简与近似值估算。

总情况数计算

  • 第一周：8人中任选1人，共 $8$ 种；
  • 第二周：排除第一周已选人，剩余7人，共 $7$ 种；
  • 第三周：排除第二周已选人，剩余7人（可与第一周重复），共 $7$ 种；
  • 总情况数：$8 \times 7 \times 7 = 392$。

符合条件情况数计算

  1. 选择宿舍：共有2个宿舍，需分别计算后相加；
  2. 单宿舍情况：
    • 第一周：从宿舍4人中选1人，共 $4$ 种；
    • 第二周：排除第一周已选人，剩余3人，共 $3$ 种；
    • 第三周：排除第二周已选人，剩余3人，共 $3$ 种；
    • 单宿舍情况数：$4 \times 3 \times 3 = 36$；
  3. 两宿舍总情况数：$2 \times 36 = 72$。

概率计算

  • 概率：$\frac{72}{392} = \frac{9}{49} \approx 0.1837$（即约18.37%）；
  • 范围判断：18.37%属于 10%-20%。