题目
求函数y=(x-1)e^arctanx 的单调区间及极值
求函数y=(x-1)e^arctanx 的单调区间及极值
题目解答
答案
y'=e^arctanx+(x-1)e^(arctanx)/(1+x^2)=e^arctanx((x^2+x)/(x^2+1)),定义域是R
e^arctanx>0,(x^2+1)>0,所以y'=0,即：x^2+x,解得：x=0或-1
当-10
所以函数的单调增区间是：(-inf,-1]∪[0,inf)；单调减区间是：[-1,0]
在x=-1的左侧临域内f'(x)>0,在x=-1的右侧临域内f'(x)0
所以函数在x=0处取得极小值：-e^arctan(0)=-e^(0)=-1
e^arctanx>0,(x^2+1)>0,所以y'=0,即：x^2+x,解得：x=0或-1
当-10
所以函数的单调增区间是：(-inf,-1]∪[0,inf)；单调减区间是：[-1,0]
在x=-1的左侧临域内f'(x)>0,在x=-1的右侧临域内f'(x)0
所以函数在x=0处取得极小值：-e^arctan(0)=-e^(0)=-1
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 \( y = (x-1)e^{\arctan x} \) 的导数。使用乘积法则和链式法则，我们得到：
\[ y' = e^{\arctan x} + (x-1)e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \]
\[ y' = e^{\arctan x} \left(1 + \frac{x-1}{1+x^2}\right) \]
\[ y' = e^{\arctan x} \left(\frac{1+x^2 + x - 1}{1+x^2}\right) \]
\[ y' = e^{\arctan x} \left(\frac{x^2 + x}{1+x^2}\right) \]
步骤 2：确定导数为零的点
令导数等于零，求解 \( x \)：
\[ e^{\arctan x} \left(\frac{x^2 + x}{1+x^2}\right) = 0 \]
由于 \( e^{\arctan x} > 0 \)，我们只需解：
\[ \frac{x^2 + x}{1+x^2} = 0 \]
\[ x^2 + x = 0 \]
\[ x(x + 1) = 0 \]
解得：\( x = 0 \) 或 \( x = -1 \)
步骤 3：确定单调区间
我们需要确定导数的符号，以确定函数的单调区间。由于 \( e^{\arctan x} > 0 \) 且 \( 1 + x^2 > 0 \)，导数的符号由 \( x^2 + x \) 决定。
- 当 \( x < -1 \) 时，\( x^2 + x > 0 \)，所以 \( y' > 0 \)，函数单调递增。
- 当 \( -1 < x < 0 \) 时，\( x^2 + x < 0 \)，所以 \( y' < 0 \)，函数单调递减。
- 当 \( x > 0 \) 时，\( x^2 + x > 0 \)，所以 \( y' > 0 \)，函数单调递增。
步骤 4：确定极值
在 \( x = -1 \) 和 \( x = 0 \) 处，导数从正变负或从负变正，因此这些点是极值点。
- 在 \( x = -1 \) 处，导数从正变负，所以函数在 \( x = -1 \) 处取得极大值。
- 在 \( x = 0 \) 处，导数从负变正，所以函数在 \( x = 0 \) 处取得极小值。
首先，我们需要求出函数 \( y = (x-1)e^{\arctan x} \) 的导数。使用乘积法则和链式法则，我们得到：
\[ y' = e^{\arctan x} + (x-1)e^{\arctan x} \cdot \frac{1}{1+x^2} \]
\[ y' = e^{\arctan x} \left(1 + \frac{x-1}{1+x^2}\right) \]
\[ y' = e^{\arctan x} \left(\frac{1+x^2 + x - 1}{1+x^2}\right) \]
\[ y' = e^{\arctan x} \left(\frac{x^2 + x}{1+x^2}\right) \]
步骤 2：确定导数为零的点
令导数等于零，求解 \( x \)：
\[ e^{\arctan x} \left(\frac{x^2 + x}{1+x^2}\right) = 0 \]
由于 \( e^{\arctan x} > 0 \)，我们只需解：
\[ \frac{x^2 + x}{1+x^2} = 0 \]
\[ x^2 + x = 0 \]
\[ x(x + 1) = 0 \]
解得：\( x = 0 \) 或 \( x = -1 \)
步骤 3：确定单调区间
我们需要确定导数的符号，以确定函数的单调区间。由于 \( e^{\arctan x} > 0 \) 且 \( 1 + x^2 > 0 \)，导数的符号由 \( x^2 + x \) 决定。
- 当 \( x < -1 \) 时，\( x^2 + x > 0 \)，所以 \( y' > 0 \)，函数单调递增。
- 当 \( -1 < x < 0 \) 时，\( x^2 + x < 0 \)，所以 \( y' < 0 \)，函数单调递减。
- 当 \( x > 0 \) 时，\( x^2 + x > 0 \)，所以 \( y' > 0 \)，函数单调递增。
步骤 4：确定极值
在 \( x = -1 \) 和 \( x = 0 \) 处，导数从正变负或从负变正，因此这些点是极值点。
- 在 \( x = -1 \) 处，导数从正变负，所以函数在 \( x = -1 \) 处取得极大值。
- 在 \( x = 0 \) 处，导数从负变正，所以函数在 \( x = 0 \) 处取得极小值。