题目
[例3]设 (x)(xgeqslant 0) 二阶可导,且 '(x)gt 0 (0)=1. 过 y=y(x) 上任意点-|||-P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围三角形面积记为S1,区间 [ 0,,-|||-] 上以 y=y(x) 为曲边的曲边梯形面积记为S2,且 (S)_(1)-(S)_(2)=1, 求y(x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定切线方程
设曲线 $y=y(x)$ 在点 $P(x,y)$ 处的切线方程为 $Y-y=y'(X-x)$，则它与x轴的交点为 $(x-\dfrac{y}{y'},0)$。
步骤 2：计算三角形面积 $S_1$
三角形面积 $S_1$ 为 $\dfrac{1}{2}y[x-(x-\dfrac{y}{y'})] = \dfrac{y^2}{2y'}$。
步骤 3：计算曲边梯形面积 $S_2$
曲边梯形面积 $S_2$ 为 $\int_{0}^{x}y(t)dt$。
步骤 4：根据给定条件建立方程
根据 $2S_1-S_2=1$，代入 $S_1$ 和 $S_2$ 的表达式，得到 $\dfrac{y^2}{y'}-\int_{0}^{x}y(t)dt=1$。
步骤 5：求解微分方程
令 $p=y'$，则 $\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot p$，代入方程 $\dfrac{y^2}{p}-\int_{0}^{x}y(t)dt=1$，得到 $\dfrac{y^2}{p}-\int_{0}^{x}y(t)dt=1$，即 $y\cdot\dfrac{dp}{dy}=p$，从而 $\dfrac{dp}{p}=\dfrac{dy}{y}$，积分得到 $p=C_1y$，即 $\dfrac{dy}{dx}=C_1y$。
步骤 6：求解 $y(x)$
解微分方程 $\dfrac{dy}{dx}=C_1y$，得到 $y=C_2e^{C_1x}$。由 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=1$，得到 $C_1=1$，$C_2=1$，从而 $y=e^x$。
设曲线 $y=y(x)$ 在点 $P(x,y)$ 处的切线方程为 $Y-y=y'(X-x)$，则它与x轴的交点为 $(x-\dfrac{y}{y'},0)$。
步骤 2：计算三角形面积 $S_1$
三角形面积 $S_1$ 为 $\dfrac{1}{2}y[x-(x-\dfrac{y}{y'})] = \dfrac{y^2}{2y'}$。
步骤 3：计算曲边梯形面积 $S_2$
曲边梯形面积 $S_2$ 为 $\int_{0}^{x}y(t)dt$。
步骤 4：根据给定条件建立方程
根据 $2S_1-S_2=1$，代入 $S_1$ 和 $S_2$ 的表达式，得到 $\dfrac{y^2}{y'}-\int_{0}^{x}y(t)dt=1$。
步骤 5：求解微分方程
令 $p=y'$，则 $\dfrac{dp}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dp}{dy}\cdot p$，代入方程 $\dfrac{y^2}{p}-\int_{0}^{x}y(t)dt=1$，得到 $\dfrac{y^2}{p}-\int_{0}^{x}y(t)dt=1$，即 $y\cdot\dfrac{dp}{dy}=p$，从而 $\dfrac{dp}{p}=\dfrac{dy}{y}$，积分得到 $p=C_1y$，即 $\dfrac{dy}{dx}=C_1y$。
步骤 6：求解 $y(x)$
解微分方程 $\dfrac{dy}{dx}=C_1y$，得到 $y=C_2e^{C_1x}$。由 $y(0)=1$ 和 $y'(0)=1$，得到 $C_1=1$，$C_2=1$，从而 $y=e^x$。