题目
03求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (sqrt {a+x)-sqrt (a-x)}(x)(agt 0)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分子有理化
为了消除根号，我们对分子进行有理化处理。分子乘以分子的共轭式，即 $\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}$，同时分母也乘以相同的式子，这样可以消去根号。
步骤 2：化简表达式
分子变为 $(\sqrt{a+x} - \sqrt{a-x})(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}) = (a+x) - (a-x) = 2x$，分母变为 $x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})$。
步骤 3：求极限
将化简后的表达式代入原极限式，得到 $\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{2x}{x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})} = \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{2}{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}$。当 $x$ 趋于 $0$ 时，分子为 $2$，分母为 $2\sqrt{a}$，因此极限值为 $\dfrac{2}{2\sqrt{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}$。
为了消除根号，我们对分子进行有理化处理。分子乘以分子的共轭式，即 $\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}$，同时分母也乘以相同的式子，这样可以消去根号。
步骤 2：化简表达式
分子变为 $(\sqrt{a+x} - \sqrt{a-x})(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}) = (a+x) - (a-x) = 2x$，分母变为 $x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})$。
步骤 3：求极限
将化简后的表达式代入原极限式，得到 $\lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{2x}{x(\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x})} = \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{2}{\sqrt{a+x} + \sqrt{a-x}}$。当 $x$ 趋于 $0$ 时，分子为 $2$，分母为 $2\sqrt{a}$，因此极限值为 $\dfrac{2}{2\sqrt{a}} = \dfrac{1}{\sqrt{a}}$。