利用洛必达法则求极限.-|||-lim _(xarrow {0)^+}((cos sqrt {x))}^dfrac (pi {x)}

考查要点：本题主要考查利用洛必达法则求解形如$1^{\infty}$型未定式极限的能力，以及对自然对数与指数函数转换的理解。

解题核心思路：

1. 识别极限类型：当$x \to 0^+$时，$\cos \sqrt{x} \to 1$，而指数$\dfrac{\pi}{x} \to +\infty$，属于$1^{\infty}$型未定式。
2. 转换形式：通过取自然对数将原式转化为指数函数形式，将问题转化为求指数部分的极限。
3. 应用洛必达法则：对转换后的极限表达式应用洛必达法则，化简后求得最终结果。

破题关键点：

• 正确应用对数转换，将原式转化为$\exp\left(\lim \dfrac{\ln(\cos \sqrt{x})}{x/\pi}\right)$。
• 识别$0/0$型未定式，对分子分母分别求导，通过洛必达法则化简极限。

设原式为$L = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{(\cos \sqrt {x})}^{\dfrac {\pi }{x}}$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对$L$取自然对数：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow 0^{+}} \dfrac{\pi}{x} \cdot \ln(\cos \sqrt{x}).$

步骤2：转换为$0/0$型

将表达式改写为：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow 0^{+}} \dfrac{\ln(\cos \sqrt{x})}{x/\pi}.$
当$x \to 0^+$时，分子$\ln(\cos \sqrt{x}) \to 0$，分母$x/\pi \to 0$，属于$0/0$型未定式，可应用洛必达法则。

步骤3：应用洛必达法则

对分子和分母分别求导：

• 分子导数：
  $\dfrac{d}{dx} \ln(\cos \sqrt{x}) = \dfrac{1}{\cos \sqrt{x}} \cdot (-\sin \sqrt{x}) \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} = -\dfrac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cos \sqrt{x}}.$
• 分母导数：
  $\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{x}{\pi} \right) = \dfrac{1}{\pi}.$

步骤4：化简极限

代入洛必达法则结果：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow 0^{+}} \dfrac{ -\dfrac{\sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cos \sqrt{x}} }{ \dfrac{1}{\pi} } = \lim _{x\rightarrow 0^{+}} -\dfrac{\pi \sin \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cos \sqrt{x}}.$

步骤5：利用等价无穷小

当$x \to 0^+$时，$\sin \sqrt{x} \approx \sqrt{x}$，$\cos \sqrt{x} \approx 1$，代入得：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow 0^{+}} -\dfrac{\pi \cdot \sqrt{x}}{2\sqrt{x} \cdot 1} = -\dfrac{\pi}{2}.$

步骤6：还原指数形式

因此，原式极限为：
$L = e^{\ln L} = e^{-\pi/2}.$