题目
[题目]设函数 y=y(x) 由方程 ln y-x+y=0 确定,试-|||-判断曲线 y=y(x) 在点(1,1)附近的凹凸性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求一阶导数
对给定的方程 $y\ln y-x+y=0$ 两边对x求导，得到：
$$
y'\ln y + y\cdot\frac{1}{y} - 1 + y' = 0
$$
化简得：
$$
y'(2+\ln y) = 1
$$
步骤 2：求二阶导数
对上式两边再对x求导，得到：
$$
y''(2+\ln y) + y'\cdot\frac{1}{y} = 0
$$
步骤 3：代入点(1,1)的值
代入 x=1 ,y=1 ,得到：
$$
y'(1) = \frac{1}{2}
$$
$$
y''(1) = -\frac{1}{8}
$$
步骤 4：判断凹凸性
由于 $y''(1) = -\frac{1}{8} < 0$ ，所以曲线 $y=g{(x)}^{2}$ 在点(1,1)附近是凸的。
对给定的方程 $y\ln y-x+y=0$ 两边对x求导，得到：
$$
y'\ln y + y\cdot\frac{1}{y} - 1 + y' = 0
$$
化简得：
$$
y'(2+\ln y) = 1
$$
步骤 2：求二阶导数
对上式两边再对x求导，得到：
$$
y''(2+\ln y) + y'\cdot\frac{1}{y} = 0
$$
步骤 3：代入点(1,1)的值
代入 x=1 ,y=1 ,得到：
$$
y'(1) = \frac{1}{2}
$$
$$
y''(1) = -\frac{1}{8}
$$
步骤 4：判断凹凸性
由于 $y''(1) = -\frac{1}{8} < 0$ ，所以曲线 $y=g{(x)}^{2}$ 在点(1,1)附近是凸的。