=(x)^3-3(x)^2 的单减凸区间是()A.(-∞，0）B.(1,2)C.(0,1)D.(2.+∞)

考查要点：本题主要考查函数的单调性和凸性的判断，需要综合运用导数确定函数的单调区间和凸区间，进而找到同时满足条件的区间。

解题核心思路：

1. 求一阶导数，确定函数的单调区间；
2. 求二阶导数，确定函数的凸区间；
3. 求交集，找到同时满足单调递减和凸的区间。

破题关键点：

• 一阶导数的零点将数轴分为单调递增和递减的区间；
• 二阶导数的零点将数轴分为凸和凹的区间；
• 区间重叠部分即为答案。

1. 求一阶导数与单调区间

函数为 $y = x^3 - 3x^2$，求导得：
$y' = 3x^2 - 6x$
令 $y' = 0$，解得：
$3x(x - 2) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \text{ 或 } x = 2$
将数轴分为三个区间：

• 当 $x < 0$ 时，取 $x = -1$，代入 $y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 9 > 0$，函数单调递增；
• 当 $0 < x < 2$ 时，取 $x = 1$，代入 $y' = 3(1)^2 - 6(1) = -3 < 0$，函数单调递减；
• 当 $x > 2$ 时，取 $x = 3$，代入 $y' = 3(3)^2 - 6(3) = 9 > 0$，函数单调递增。

单调递减区间为 $(0, 2)$。

2. 求二阶导数与凸区间

二阶导数为：
$y'' = 6x - 6$
令 $y'' = 0$，解得：
$6x - 6 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$
将数轴分为两个区间：

• 当 $x < 1$ 时，取 $x = 0$，代入 $y'' = -6 < 0$，函数凸；
• 当 $x > 1$ 时，取 $x = 2$，代入 $y'' = 6 > 0$，函数凹。

凸区间为 $(-\infty, 1)$。

3. 求交集

• 单调递减区间：$(0, 2)$
• 凸区间：$(-\infty, 1)$
• 交集：$(0, 1)$