[例8]设f(x )在 x=1 连续,且 lim _(xarrow 1)dfrac (f(x)-2)(x-1) 存在,则 (1)= __-|||-解:因为 lim _(xarrow 1)dfrac (f(x)-2)(x-1) 存在,所以 lim _(xarrow 1)(f(x)-2)=0, 即 lim _(xarrow 1)f(x)=2 又,f(x)在 x=1 连-|||-续,因此 lim _(xarrow 1)f(x)=f(1), 从而 (1)=2.

考查要点：本题主要考查函数连续性和极限存在的关系，需要结合极限的性质与连续的定义进行分析。

解题核心思路：

1. 极限存在的隐含条件：当分式极限$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x-1}$存在时，分子$f(x)-2$必须趋近于0，否则分式会趋向无穷大，导致极限不存在。
2. 连续性的应用：函数在$x=1$处连续，说明$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$。
   通过上述两点，可以建立方程求解$f(1)$。

破题关键点：

• 分子趋近于0：由分式极限存在推导出$\lim_{x \to 1} (f(x)-2) = 0$。
• 连续性代换：将极限值代入连续性条件，直接得到$f(1)$的值。

步骤1：分析分式极限存在的条件
已知$\lim_{x \to 1} \frac{f(x)-2}{x-1}$存在，分母$x-1$当$x \to 1$时趋近于0。
若分式极限存在且为有限数，则分子$f(x)-2$必须趋近于0，否则分式会趋向无穷大。
因此，$\lim_{x \to 1} (f(x)-2) = 0$，即：
$\lim_{x \to 1} f(x) = 2.$

步骤2：利用连续性求$f(1)$
函数$f(x)$在$x=1$处连续，根据连续性定义：
$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1).$
结合步骤1的结果$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$，可得：
$f(1) = 2.$