题目
lim _(xarrow 1)dfrac (sin pi x)(x-1);-|||-__
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用洛必达法则
由于当 $x \rightarrow 1$ 时，分子 $\sin \pi x$ 和分母 $x-1$ 都趋向于0，因此原极限是 $\frac{0}{0}$ 型的不定式。根据洛必达法则，我们可以对分子和分母分别求导，然后计算导数的比值的极限。
步骤 2：求导
分子的导数为 $\frac{d}{dx}(\sin \pi x) = \pi \cos \pi x$，分母的导数为 $\frac{d}{dx}(x-1) = 1$。
步骤 3：计算导数的比值的极限
$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\pi \cos \pi x}{1} = \pi \cos \pi = \pi \cdot (-1) = -\pi$。
由于当 $x \rightarrow 1$ 时，分子 $\sin \pi x$ 和分母 $x-1$ 都趋向于0，因此原极限是 $\frac{0}{0}$ 型的不定式。根据洛必达法则，我们可以对分子和分母分别求导，然后计算导数的比值的极限。
步骤 2：求导
分子的导数为 $\frac{d}{dx}(\sin \pi x) = \pi \cos \pi x$，分母的导数为 $\frac{d}{dx}(x-1) = 1$。
步骤 3：计算导数的比值的极限
$\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {\pi \cos \pi x}{1} = \pi \cos \pi = \pi \cdot (-1) = -\pi$。