题目

练习 A,B均为三阶矩阵,满足AB+2A+B+E=0,}1&2&01&2&01&2&1,则|A+E|=____.

练习 A,B均为三阶矩阵,满足$AB+2A+B+E=0,$ $\begin{bmatrix}1&2&0\\1&2&0\\1&2&1\end{bmatrix}$,则|A+E|=____.

题目解答

答案

由方程 $AB + 2A + B + E = 0$，可得 \[ A(B + 2E) = -(B + E). \] 两边同时加 $B + 2E$，得 \[ (A + E)(B + 2E) = E. \] 因此，$A + E$ 是 $B + 2E$ 的逆矩阵，即 \[ |A + E| = \frac{1}{|B + 2E|}. \] 计算 $B + 2E$ 的行列式： \[ B + 2E = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}, \quad |B + 2E| = 3 \times \begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \times 10 = 30. \] 故 \[ |A + E| = \frac{1}{30}. \] **答案：** $\boxed{\frac{1}{30}}$

解析

考查要点：本题主要考查矩阵方程的变形、逆矩阵的性质以及行列式的计算。
解题核心思路：通过对方程进行变形，将问题转化为求逆矩阵的行列式，从而利用行列式的乘积性质简化计算。
破题关键点：

  1. 方程变形：将原方程整理为$(A + E)(B + 2E) = E$，从而得出$A + E$是$B + 2E$的逆矩阵。
  2. 行列式性质：利用逆矩阵的行列式与原矩阵行列式的关系，即$|A + E| = \frac{1}{|B + 2E|}$。
  3. 行列式计算：通过展开法计算$B + 2E$的行列式。

步骤1：方程变形
原方程为：
$AB + 2A + B + E = 0.$
将方程左边分组：
$A(B + 2E) + (B + E) = 0.$
移项得：
$A(B + 2E) = -(B + E).$
两边同时加上$(B + 2E)$：
$A(B + 2E) + (B + 2E) = E.$
提取公因子$(B + 2E)$：
$(A + E)(B + 2E) = E.$
因此，$A + E$是$B + 2E$的逆矩阵，即：
$A + E = (B + 2E)^{-1}.$

步骤2：行列式关系
根据逆矩阵的性质，有：
$|A + E| \cdot |B + 2E| = 1.$
因此：
$|A + E| = \frac{1}{|B + 2E|}.$

步骤3：计算$|B + 2E|$
矩阵$B + 2E$为：
$B + 2E = \begin{bmatrix}3 & 2 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 3\end{bmatrix}.$
按第一行展开行列式：
$\begin{aligned}|B + 2E| &= 3 \cdot \begin{vmatrix}4 & 0 \\ 2 & 3\end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & 3\end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix}1 & 4 \\ 1 & 2\end{vmatrix} \\ &= 3 \cdot (4 \cdot 3 - 0 \cdot 2) - 2 \cdot (1 \cdot 3 - 0 \cdot 1) \\ &= 3 \cdot 12 - 2 \cdot 3 \\ &= 36 - 6 = 30. \end{aligned}$

步骤4：求$|A + E|$
代入行列式关系：
$|A + E| = \frac{1}{30}.$