题目
5,直线 :dfrac (x-1)(0)=dfrac (y-1)(1)=dfrac (z-1)(1) 绕z轴旋转一周所成的旋转曲面方程为 __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定直线L上的点
直线 $L:\dfrac {x-1}{0}=\dfrac {y-1}{1}=\dfrac {z-1}{1}$ 可以表示为参数方程形式，其中 $x=1$，$y=t+1$，$z=t+1$，$t$ 为参数。因此，直线L上的任意一点可以表示为 $(1, t+1, t+1)$。
步骤 2：确定旋转曲面上的点
设旋转曲面上的任意一点为 $M(x,y,z)$，该点所在的圆对应于直线L上的点为 $M_0(1, t+1, t+1)$，圆心为 $T(0,0,z)$。由于旋转曲面是绕z轴旋转形成的，所以 $M$ 点到z轴的距离等于 $M_0$ 点到z轴的距离，即 $|\overrightarrow{MT}|=|\overrightarrow{M_0T}|$。
步骤 3：计算距离并建立方程
$|\overrightarrow{MT}|=\sqrt{x^2+y^2}$，$|\overrightarrow{M_0T}|=\sqrt{(1-0)^2+(t+1-0)^2}=\sqrt{1+(t+1)^2}$。因此，有 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+(t+1)^2}$，即 $x^2+y^2=1+(t+1)^2$。由于 $M_0$ 点在直线L上，所以 $t+1=z$，代入上式得 $x^2+y^2=1+z^2$，即 $x^2+y^2-z^2=1$。
直线 $L:\dfrac {x-1}{0}=\dfrac {y-1}{1}=\dfrac {z-1}{1}$ 可以表示为参数方程形式，其中 $x=1$，$y=t+1$，$z=t+1$，$t$ 为参数。因此，直线L上的任意一点可以表示为 $(1, t+1, t+1)$。
步骤 2：确定旋转曲面上的点
设旋转曲面上的任意一点为 $M(x,y,z)$，该点所在的圆对应于直线L上的点为 $M_0(1, t+1, t+1)$，圆心为 $T(0,0,z)$。由于旋转曲面是绕z轴旋转形成的，所以 $M$ 点到z轴的距离等于 $M_0$ 点到z轴的距离，即 $|\overrightarrow{MT}|=|\overrightarrow{M_0T}|$。
步骤 3：计算距离并建立方程
$|\overrightarrow{MT}|=\sqrt{x^2+y^2}$，$|\overrightarrow{M_0T}|=\sqrt{(1-0)^2+(t+1-0)^2}=\sqrt{1+(t+1)^2}$。因此，有 $\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{1+(t+1)^2}$，即 $x^2+y^2=1+(t+1)^2$。由于 $M_0$ 点在直线L上，所以 $t+1=z$，代入上式得 $x^2+y^2=1+z^2$，即 $x^2+y^2-z^2=1$。