题目
若, f(x)= . { ,xneq 0 1,x=0 . 则 ()-|||-A、f(x)在 x=0 处右连续-|||-B、f(x)在 x=0 处左、右极限存在-|||-C、f(x)在 x=0 处不连续-|||-D、f(x)在 x=0 处左连续
题目解答
答案
本题考查函数连续性的概念,函数在某点连续的充要条件是函数在该点的左、右极限存在且相等.本题中,函数f(x)在x=0处的左极限为lim(x→0-)f(x)=lim(x→0-)(sinx)/(-x)=-1,函数f(x)在x=0处的右极限为lim(x→0+)f(x)=lim(x→0+)(sinx)/x=1,由于函数f(x)在x=0处的左、右极限不相等,故函数f(x)在x=0处不连续,应选C.本题也可以通过函数连续性的定义来判断,函数f(x)在x=0处连续的充要条件是lim(x→0)f(x)=f(0),由于lim(x→0)f(x)不存在,故函数f(x)在x=0处不连续,应选C.
解析
步骤 1：计算函数在 x=0 处的左极限
函数 f(x) 在 x=0 处的左极限为 lim(x→0-)f(x) = lim(x→0-)(sinx)/(-x) = -1。
步骤 2：计算函数在 x=0 处的右极限
函数 f(x) 在 x=0 处的右极限为 lim(x→0+)f(x) = lim(x→0+)(sinx)/x = 1。
步骤 3：判断函数在 x=0 处的连续性
由于函数 f(x) 在 x=0 处的左、右极限不相等，故函数 f(x) 在 x=0 处不连续。
函数 f(x) 在 x=0 处的左极限为 lim(x→0-)f(x) = lim(x→0-)(sinx)/(-x) = -1。
步骤 2：计算函数在 x=0 处的右极限
函数 f(x) 在 x=0 处的右极限为 lim(x→0+)f(x) = lim(x→0+)(sinx)/x = 1。
步骤 3：判断函数在 x=0 处的连续性
由于函数 f(x) 在 x=0 处的左、右极限不相等，故函数 f(x) 在 x=0 处不连续。