例18】(2013,数一)设函数y=f(x)由方程y-x=e^x(1-y)确定，则lim_(ntoinfty)n[f((1)/(n))-1]=

考查要点：本题主要考查隐函数求导及导数的定义应用，需要将极限问题转化为导数计算。

解题思路：

1. 确定初始值：将$x=0$代入方程，求得$f(0)=1$；
2. 隐函数求导：对原方程两边关于$x$求导，代入$x=0, y=1$求得$f'(0)$；
3. 极限转化：利用导数定义，将极限$\lim_{n\to\infty}n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$转化为$f'(0)$。

关键点：

• 隐函数求导时需注意链式法则的应用；
• 导数定义的灵活运用，将极限形式与导数关联。

步骤1：确定$f(0)$的值

将$x=0$代入方程$y - x = e^{x(1-y)}$，得：
$y - 0 = e^{0 \cdot (1-y)} \implies y = e^0 = 1.$
因此，$f(0) = 1$。

步骤2：对原方程隐函数求导

对等式$y - x = e^{x(1-y)}$两边关于$x$求导：

• 左边：$\frac{d}{dx}(y - x) = y' - 1$；
• 右边：利用链式法则，导数为：
  $e^{x(1-y)} \cdot \frac{d}{dx}[x(1-y)] = e^{x(1-y)} \cdot \left[(1-y) - x y'\right].$

整理得方程：
$y' - 1 = e^{x(1-y)} \left[(1-y) - x y'\right].$

步骤3：代入$x=0, y=1$求$f'(0)$

将$x=0, y=1$代入方程：
$y'(0) - 1 = e^{0} \left[(1-1) - 0 \cdot y'(0)\right] \implies y'(0) - 1 = 0 \implies y'(0) = 1.$
因此，$f'(0) = 1$。

步骤4：利用导数定义求极限

将极限表达式变形：
$\lim_{n\to\infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right] = \lim_{t\to0} \frac{f(t) - f(0)}{t} = f'(0) = 1.$