题目
(2017)求极限 lim _(xarrow infty )dfrac (2x-sin x)(x+sin x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：将分子和分母同时除以x
将极限表达式中的分子和分母同时除以x，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {\sin x}{x}}{1+\dfrac {\sin x}{x}}$。
步骤 2：分析 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的极限
当 $x\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac {\sin x}{x}\rightarrow 0$，因为 $\sin x$ 的值在 $[-1,1]$ 之间，而分母 $x$ 趋于无穷大，所以 $\dfrac {\sin x}{x}$ 趋于0。
步骤 3：计算极限
将 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的极限值代入步骤1得到的表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {\sin x}{x}}{1+\dfrac {\sin x}{x}} = \dfrac {2-0}{1+0} = 2$。
将极限表达式中的分子和分母同时除以x，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {\sin x}{x}}{1+\dfrac {\sin x}{x}}$。
步骤 2：分析 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的极限
当 $x\rightarrow \infty$ 时，$\dfrac {\sin x}{x}\rightarrow 0$，因为 $\sin x$ 的值在 $[-1,1]$ 之间，而分母 $x$ 趋于无穷大，所以 $\dfrac {\sin x}{x}$ 趋于0。
步骤 3：计算极限
将 $\dfrac {\sin x}{x}$ 的极限值代入步骤1得到的表达式中，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {2-\dfrac {\sin x}{x}}{1+\dfrac {\sin x}{x}} = \dfrac {2-0}{1+0} = 2$。