题目
曲面 =(x)^2+(y)^2+1 在点 M(1,-1,3) 的切平面与曲面 =(x)^2+(y)^2 所围区域的体-|||-积为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：求曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}+1$ 在点 M(1,-1,3) 处的切平面方程
首先，计算曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}+1$ 在点 M(1,-1,3) 处的法向量。法向量为 $\nabla z = (2x, 2y, -1)$，在点 M(1,-1,3) 处，法向量为 $(2, -2, -1)$。因此，切平面方程为 $2(x-1)-2(y+1)-(z-3)=0$，即 $z=2x-2y-1$。
步骤 2：求切平面与曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的交线
联立 $\left \{ \begin{matrix} z={x}^{2}+{y}^{2},\\ z=2x-2y-1\end{matrix} \right.$，得 ${x}^{2}+{y}^{2}=2x-2y-1$，即 ${(x-1)}^{2}+{(y+1)}^{2}=1$。这表示在xOy面上的投影D为圆心在(1,-1)，半径为1的圆。
步骤 3：计算所围区域的体积
所求体积为 $V=\iint_{D}[(2x-2y-1)-(x^{2}+y^{2})]d\sigma$。令 $x-1=r\cos \theta ,y+1=r\sin \theta $，则 $d\sigma =rd\theta dr$，D: $\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi \\ 0\leqslant r\leqslant 1,\end{matrix} \right.$。则 $V={\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}(1-{r}^{2})rdr=\dfrac {\pi }{2}$。
首先，计算曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}+1$ 在点 M(1,-1,3) 处的法向量。法向量为 $\nabla z = (2x, 2y, -1)$，在点 M(1,-1,3) 处，法向量为 $(2, -2, -1)$。因此，切平面方程为 $2(x-1)-2(y+1)-(z-3)=0$，即 $z=2x-2y-1$。
步骤 2：求切平面与曲面 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 的交线
联立 $\left \{ \begin{matrix} z={x}^{2}+{y}^{2},\\ z=2x-2y-1\end{matrix} \right.$，得 ${x}^{2}+{y}^{2}=2x-2y-1$，即 ${(x-1)}^{2}+{(y+1)}^{2}=1$。这表示在xOy面上的投影D为圆心在(1,-1)，半径为1的圆。
步骤 3：计算所围区域的体积
所求体积为 $V=\iint_{D}[(2x-2y-1)-(x^{2}+y^{2})]d\sigma$。令 $x-1=r\cos \theta ,y+1=r\sin \theta $，则 $d\sigma =rd\theta dr$，D: $\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant \theta \leqslant 2\pi \\ 0\leqslant r\leqslant 1,\end{matrix} \right.$。则 $V={\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{1}(1-{r}^{2})rdr=\dfrac {\pi }{2}$。