题目
43【中等】(真题)若lim_(xtoinfty)(1+(k)/(x))^-3x=e^-1，则k=____.
43【中等】(真题)若$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{k}{x}\right)^{-3x}=e^{-1}$，则k=____.
题目解答
答案
将原式重写为：
\[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{-3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x\right]^{-3}
\]
由重要极限公式 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$，得：
\[
\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x\right]^{-3} = \left(e^k\right)^{-3} = e^{-3k}
\]
根据题目条件 $e^{-3k} = e^{-1}$，解得 $k = \frac{1}{3}$。
**答案：** $\boxed{\frac{1}{3}}$
解析
考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用重要极限公式 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a$ 的变形与应用。
解题核心思路：
将原式通过指数变形转化为重要极限的形式，结合指数运算规则，将问题转化为关于$k$的方程求解。
破题关键点：
- 识别重要极限结构：将原式中的$\left(1 + \frac{k}{x}\right)^{-3x}$拆解为$\left[\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x\right]^{-3}$，从而应用重要极限公式。
- 指数运算规则：利用$(a^m)^n = a^{mn}$简化表达式。
- 方程求解：通过等式$e^{-3k} = e^{-1}$直接比较指数部分。
将原式变形为：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{-3x} = \lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x\right]^{-3}$
应用重要极限公式：
根据$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^x = e^k$，得：
$\lim_{x \to \infty} \left[\left(1 + \frac{k}{x}\right)^x\right]^{-3} = \left(e^k\right)^{-3} = e^{-3k}$
建立方程并求解：
题目给出$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{k}{x}\right)^{-3x} = e^{-1}$，因此：
$e^{-3k} = e^{-1}$
比较指数得：
$-3k = -1 \quad \Rightarrow \quad k = \frac{1}{3}$