已知关于x的方程x2-（2a-1）x+4（a-1）=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积．

考查要点：本题综合考查二次方程根与系数的关系（韦达定理）、勾股定理及代数方程的求解能力。
解题核心思路：

1. 设方程的两根为直角三角形的两条直角边，利用勾股定理建立方程；
2. 通过韦达定理将根的和与积转化为关于参数$a$的表达式；
3. 解方程并验证解的合理性，最终求出面积。
   破题关键点：

• 勾股定理：$m^2 + n^2 = 5^2$，需转化为$(m+n)^2 - 2mn = 25$；
• 参数$a$的取值范围：需保证根的和与积均为正数。

设方程的两个根为$m$和$n$，根据韦达定理：
$\begin{cases}m + n = 2a - 1, \\mn = 4(a - 1).\end{cases}$

根据勾股定理，$m^2 + n^2 = 5^2 = 25$，展开得：
$(m + n)^2 - 2mn = 25.$

将韦达定理的结果代入：
$(2a - 1)^2 - 2 \cdot 4(a - 1) = 25.$

展开并整理方程：
$4a^2 - 4a + 1 - 8a + 8 = 25 \implies 4a^2 - 12a - 16 = 0 \implies a^2 - 3a - 4 = 0.$

解得：
$a = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} \implies a_1 = 4, \quad a_2 = -1.$

验证合理性：

• 当$a = 4$时，$m + n = 7 > 0$，$mn = 12 > 0$，符合条件；
• 当$a = -1$时，$m + n = -3 < 0$，舍去。

因此，$mn = 12$，直角三角形的面积为：
$$
\text{面积} = \frac{1}{2} mn = \frac{1}{2} \times 12 = 6.

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