题目
27.已知方程 ^4+2(x)^3-3(x)^2-4x+a=0 有两个重根,则 a=
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定方程的重根形式
由于方程 ${x}^{4}+2{x}^{3}-3{x}^{2}-4x+a=0$ 有两个重根，我们可以假设方程可以写成两个二次多项式的平方形式，即
${({x}^{2}+bx+c)}^{2}=0$。
步骤 2：展开并比较系数
将 ${({x}^{2}+bx+c)}^{2}$ 展开，得到
${x}^{4}+2b{x}^{3}+({b}^{2}+2c){x}^{2}+2bcx+{c}^{2}=0$。
将上述展开式与原方程 ${x}^{4}+2{x}^{3}-3{x}^{2}-4x+a=0$ 比较系数，得到
$2b=2$，
${b}^{2}+2c=-3$，
$2bc=-4$，
${c}^{2}=a$。
步骤 3：求解方程组
从 $2b=2$ 可得 $b=1$。
将 $b=1$ 代入 ${b}^{2}+2c=-3$，得到 $1+2c=-3$，解得 $c=-2$。
将 $b=1$ 和 $c=-2$ 代入 $2bc=-4$，验证等式成立。
最后，将 $c=-2$ 代入 ${c}^{2}=a$，得到 $a=4$。
由于方程 ${x}^{4}+2{x}^{3}-3{x}^{2}-4x+a=0$ 有两个重根，我们可以假设方程可以写成两个二次多项式的平方形式，即
${({x}^{2}+bx+c)}^{2}=0$。
步骤 2：展开并比较系数
将 ${({x}^{2}+bx+c)}^{2}$ 展开，得到
${x}^{4}+2b{x}^{3}+({b}^{2}+2c){x}^{2}+2bcx+{c}^{2}=0$。
将上述展开式与原方程 ${x}^{4}+2{x}^{3}-3{x}^{2}-4x+a=0$ 比较系数，得到
$2b=2$，
${b}^{2}+2c=-3$，
$2bc=-4$，
${c}^{2}=a$。
步骤 3：求解方程组
从 $2b=2$ 可得 $b=1$。
将 $b=1$ 代入 ${b}^{2}+2c=-3$，得到 $1+2c=-3$，解得 $c=-2$。
将 $b=1$ 和 $c=-2$ 代入 $2bc=-4$，验证等式成立。
最后，将 $c=-2$ 代入 ${c}^{2}=a$，得到 $a=4$。