题目
4、下面关于微分方程 ^n-4(y)^n+20y=0 说法正确的是 ()-|||-A.该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程-|||-B.该微分方程为二阶常系数非齐次线性微分方程-|||-C. =(e)^2x 是该微分方程的一个解-|||-D.该微分方程的通解为 =(e)^2x((C)_(1)cos 4x+(C)_(2)sin 4x)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定微分方程的类型
微分方程 ${y}^{n}-4y+20y=0$ 可以重写为 ${y}^{n}-4y+20y=0$，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，因为它的形式为 $y'' + py' + qy = 0$，其中 $p$ 和 $q$ 是常数。
步骤 2：求解特征方程
特征方程为 $r^2 - 4r + 20 = 0$。解这个方程，我们得到：
\[ r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{4 \pm 8i}{2} = 2 \pm 4i \]
因此，特征根为 $r_1 = 2 + 4i$ 和 $r_2 = 2 - 4i$。
步骤 3：写出通解
由于特征根是复数，通解形式为 $y = e^{2x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
步骤 4：验证选项
A. 该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，正确。
B. 该微分方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，错误。
C. $y = e^{2x}$ 是该微分方程的一个解，错误。
D. 该微分方程的通解为 $y = e^{2x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$，正确。
微分方程 ${y}^{n}-4y+20y=0$ 可以重写为 ${y}^{n}-4y+20y=0$，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程，因为它的形式为 $y'' + py' + qy = 0$，其中 $p$ 和 $q$ 是常数。
步骤 2：求解特征方程
特征方程为 $r^2 - 4r + 20 = 0$。解这个方程，我们得到：
\[ r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 80}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-64}}{2} = \frac{4 \pm 8i}{2} = 2 \pm 4i \]
因此，特征根为 $r_1 = 2 + 4i$ 和 $r_2 = 2 - 4i$。
步骤 3：写出通解
由于特征根是复数，通解形式为 $y = e^{2x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
步骤 4：验证选项
A. 该微分方程为二阶常系数齐次线性微分方程，正确。
B. 该微分方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，错误。
C. $y = e^{2x}$ 是该微分方程的一个解，错误。
D. 该微分方程的通解为 $y = e^{2x}(C_1 \cos 4x + C_2 \sin 4x)$，正确。